牡丹江市省级示范高中2024-2025学年度高三期中数学试卷考试时间:120分钟 分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求得，再根据共轭复数的概念分析判断.【详解】因为，则，所以故选B2. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ）A. 16B. 30C. 32D. 51【答案】C【解析】【分析】将数据按照从小到大顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解.【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.故选：.3. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.【详解】由，解得.设，则.故选：C4. 周髀算经中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（ ）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】A【解析】【分析】由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求.【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：，解得：所以，所以，即春分时节的日影长为4.5.故选：A【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.5. 若函数在区间上单调递增则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.【详解】在区间上单调递增，令单调递减，则在区间上单调递减且恒为正，所以且，所以故选：D6. 已知，是一元二次方程的两个根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合根与系数关系可得，再利用两角和的正切公式可求出的值.【详解】因为，是一元二次方程的两个根，显然，所以，所以，所以故选：A7. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围.【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数.由，得，即，从而，即故选：D【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围.8. 若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】就、分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.【详解】令，则或，由，当时，在0,4上没有零点，则在0,4上应有3个零点，因为，所以，即，与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；当时，在0,4上有1个零点，在0,4上有3个零点，不满足题意；当时，在0,4上有2个零点，故0,4上应有1个零点，因为，所以该零点与的零点不相同，所以，即，与联立得，因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量，则（ ）A. 若，则B. 若，共线，则C. 不可能是单位向量D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D.【详解】对于A，由，得，解得，A正确；对于B，由，共线，得，解得，B错误；对于C，当时，是单位向量，C错误；对于D，当时，则，D正确故选：AD10. 在等比数列中，则（ ）A. 的公比为B. 的公比为2C. D. 数列为递增数列【答案】BC【解析】【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.【详解】设等比数列an的公比为，依题意得解得所以故，故BC正确，A错误；对于D，则数列为递减数列，故D错误.故选：BC.11. 已知函数，若，的图象与直线分别切于点，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据公切线的有关概念判断与的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，判断D的真假.【详解】由题意得，所以，即，由，整理得，且，A错误；把，代入，整理得，B正确；分别作出与的图象如下：两图象有2个交点，所以图象上的切点有2个，即与的公切线有2条因为，的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点为，C正确；因为直线，关于直线对称，则点就是直线与直线的交点，直线的方程为，与联立得，所以，所以，由且可得，设，则，所以，所以，D错误故选：BC【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，这一性质的应用在判断D选项时很重要.（2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12 已知平面向量满足，且，则_.【答案】【解析】【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.【详解】因为，所以，则，所以.故答案为：.13. 若，且，则_.【答案】【解析】【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解.【详解】由，得.因，所以，则，则.由，得，则，解得.故答案为：.14. 设Sn，Tn分别为等差数列an，bn的前n项和，且设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且则实数的值为_【答案】【解析】【分析】运用三点共线向量公式和等差数列的性质，即可求解.【详解】依题意，B，C，P三点共线，1，12依题意，12故答案为：【点睛】关键点睛：本题需要熟练掌握三点共线向量公式，以及等差数列的求和公式的逆运用.四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.【答案】（1） （2），【解析】【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式；（2）依题意可得，利用分组求和法计算可得.【小问1详解】设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或，因为等比数列为递增数列，所以，所以数列的通项公式为.【小问2详解】因为数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.16. 在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）证明：.（2）若点在边上，且，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）.【解析】【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.【小问1详解】证明：因为，所以，整理得.又，所以，从而，整理得，则.由，得，即，结合锐角中，则，即.【小问2详解】如图，由，可得，则.在中，由正弦定理得，整理得.因为，且是锐角三角形，所以解得，则，从而，即的取值范围为.17. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，其中，fx表示的二阶导数，即为fx的导数，表示的阶导数（1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）（2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；（3）已知，证明：【答案】（1） （2），证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值；（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.【小问1详解】记，则，所以，因为，所以且，【小问2详解】令，则，恒成立，在递增，在递增，在递增，即.【小问3详解】由题，则，则，令，易得在上递增，在上递减，从而，即当且仅当时取等号），即，得证【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.18. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为（1）求及的分布列（2）写出与的递推关系式，并证明为等比数列；（3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值（考数据：）【答案】（1），分布列见解析； （2），证明见解析； （3）（元）【解析】【分析】（1）根据条件，直接求出，的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果；（2）根据条件，建立关系式，即可求出结果，再构造成，利用等比数列的定义，即可证明结果；（3）由（2）得到，即可求出结果.【小问1详解】依题意，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球