河北省唐山市20202021学年度高一年级第一学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 已知全集，集合，则（ ）A. 2，3，4B. 1，2，4，5C. 2，5D. 2【答案】B【解析】【分析】根据补集的定义求出，再利用并集的定义求解即可.【详解】因为全集， ，所以，又因为集合，所以，故选：B.2. （ ）A. B. 1C. 0D. 1【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可【详解】故选：C3. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“，”的否定为 “，”.故选：C.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题考查了指数对数的比较大小的问题，比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.5. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数与指数函数的性质化简集合，再根据集合交集的定义求解即可【详解】因为，所以，则，故选：D6. 已知幂函数的图像过点，则下列关于说法正确的是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 定义域为D. 在单调递减【答案】D【解析】【分析】设出幂函数的解析式，将所过点坐标代入，即可求出该函数.再根据幂函数的性质的结论，选出正确选项.【详解】设幂函数为，因为函数过点，所以，则，所以，该函数定义域为，则其既不是奇函数也不是偶函数，且由可知，该幂函数在单调递减.故选：D.7. 已知函数，的零点分别，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断出三个函数的单调性，可求出，并判断，进而可得到答案【详解】因为在上递增，当时，所以；因为在上递增，当时，恒成立，故的零点小于0，即；因为在上递增，当时，故，故故选：A8. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.A选项是充要条件，不成立；B选项中，不可推导出，B不成立；C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项中函数的奇偶性，并利用基本初等函数的单调性或复合函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，所以，函数为偶函数，当时，该函数在区间上单调递增，A选项合乎要求；对于B选项，设，该函数的定义域为，所以，函数为奇函数，B选项不合乎要求；对于C选项，设，该函数的定义域为，所以，函数为偶函数，当时，内层函数单调递增，外层函数也为增函数，所以，函数在区间上单调递增，C选项合乎要求；对于D选项，函数为偶函数，但该函数在区间上不单调，D选项不合乎要求.故选：AC.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.10. 已知，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可【详解】因为，所以，所以，故A不成立，当且仅当，即时等号成立，故B成立，即，当且仅当时等号成立，故选项C成立；，当且仅当时等号成立，故等号取不到，故选项D成立.故选：BCD11. 函数(，是常数，)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A B. 区间上单调递增C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数D. 【答案】BD【解析】【分析】根据函数图象得到A=2，再根据函数图象过点 ，求得，得到函数解析式，然后再逐项判断.【详解】由函数图象得：A=2，,所以，又因为函数图象过点 ，所以，即 ，解得 ，即 ，所以，所以A. ，故错误；B. 因为，所以，故正确；C.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是，故错误；D. ，所以，故正确；故选：BD【点睛】关键点点睛：本题关键是关键函数的图象，利用函数的性质求出函数的解析式.12. 已知函数，函数，且，则零点的个数可能为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】BCD【解析】【分析】零点的个数，即为函数与函数在上的交点个数，画出函数和函数的图象，根据图象即可得到交点的可能个数【详解】函数，且，则零点的个数，即为函数与函数在上的交点个数，在直角坐标系中画出函数和函数的图象如下：由图象可知，函数和函数可能有1个，2个或3个交点，所以零点的个数可能为1,2,3.故选：BCD【点睛】结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.三、填空题13. 若，则_.【答案】【解析】【分析】由，根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可【详解】，则，故答案为：14. 当时，函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】分子分母同除以，再利用基本不等式求解即可【详解】，当且仅当时取等号，即函数的最大值为，故答案为：15. 将函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为_.【答案】.【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，即可得出结论.【详解】将函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得函数为，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数为.故答案为：.16. 某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现，该种鸟类的飞行速度（单位：m/s）与其耗氧量之间的关系为（其中、是实数）据统计，该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为18m/s，则_；若这种候鸟飞行的速度不能低于60 m/s，其耗氧量至少要_个单位.【答案】 (1). 6 (2). 10240【解析】【分析】由初始值解出的值，然后令，可得出的取值范围，由此得出候鸟在飞行时速度不低于时的最低耗氧量.【详解】由题意，知，解得，所以，要使飞行速度不能低于，则有，即，即，解得，即，所以耗氧量至少要个单位.故答案为：6；10240【点睛】本题考查对数的应用，解题的关键就是要利用题中数据解出函数解析式，利用题意列出不等式进行求解.四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】（1）；（2）18. 已知，若，求的取值范围.【答案】.【解析】【分析】利用对函数数的性质化简，利用一元二次不等式的解法，讨论， 三种情况，分别分析集合，再结合，解得的取值范围【详解】由，得，解得，即，由，得，当时，是空集，不满足，不符合题意，舍去；当时，不满足，不符合题意，舍去；当时，解得，因，所以的取值范围是.19. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若，求的值域.【答案】（1）最小正周期；（2）.【解析】【分析】（1）先利用余弦的二倍角公式和两角差的正弦化简后，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x的范围求出的范围，再由正弦函数的有界性求f（x）的值域【详解】由已知（1）函数的最小正周期；（2）因为，所以所以，所以.【点睛】本题考查三角函数的周期性、值域及两角和与差的正弦、二倍角公式，关键点是对的解析式利用公式进行化简，考查学生的基础知识、计算能力，难度不大，综合性较强，属于简单题.20. 某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.【答案】（1）400吨；（2）该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.【解析】【分析】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，化简后再利用基本不等式即可求出最小值（2）该单位每月获利为元，则，由的范围，利用二次函数的性质得到的范围即可得结论【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元.（2）不获利，设该单位每月获利为元，则，因为，所以时取最大值，时取最小值，所以.故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.【点睛】方法点睛：在利