第二部分,题型突破篇,专题四,四边形的证明与计算,核心类型突破练,核心类型突破练,类型1,平行四边形的证明与计算,【典例1】,如图，在,中,连接对角线,点,在线段,上,连接,且,.,（1）求证：四边形,是平行四边形;,证明：,四边形,是平行四边形，,，,.,在,和,中，,，,，,，,，,四边形,是平行四边形.,（2）若,，,，,，,，求四边形,的周长.,解:如图，延长,交,于点,.,四边形,是平行四边形，,.,，,，,，,.,在,中,由勾股定理，得,.,由（1）得四边形,是平行四边形,四边形,的周长为,.,名师点睛,平行四边形的判定的基本思路,（1）已知一组对边平行，证这组对边相等或另一组对边平行；,（2）已知一组对边相等，证这组对边平行或另一组对边相等；,（3）已知与对角线有关，证对角线互相平分.,举一反三,1.,（2024北京）,如图，在四边形,中，,是,的中点，,，,交于点,，,，,.,（1）求证：四边形,为平行四边形；,证明：,是,的中点，,.,，,是,的中位线，,，,.,，,四边形,为平行四边形.,（2）若,，,，,，求,的长.,解：由（1）知，,是,的中位线，,.,，,，,.,，,.,，,，,.,四边形,为平行四边形，,.,，,，,.,类型2,矩形的证明与计算,【典例2】,如图，在菱形,中，对角线,，,交于点,，过点,作,的垂线，垂足为,，延长,到点,，使,，连接,.,（1）求证：四边形,是矩形；,证明：,四边形,是菱形，,且,.,，,，,即,，,.,，,四边形,是平行四边形.,，,，,四边形,是矩形.,（2）若,，,，求,的长.,解：,四边形,是菱形，,，,，,.,，,.,在,中，由勾股定理，得,.,，,，解得,.,名师点睛,矩形的判定的基本思路,（1）已知四边形是一般四边形，证有三个角是直角或证对角线相互,平分且相等；,（2）已知四边形是平行四边形，证有一个角是直角或对角线相等.,举一反三,2.,（2024昆明官渡区二模）,如图，菱形,的对角线,，,交于点,，,点,，,分别在,，,的延长线上，且,，,.,（1）求证：四边形,是矩形；,证明：,四边形,是菱形，,，,.,，,，即,，,四边形,是平行四边形.,，,，,平行四边形,是矩形.,（2）若,，,，求,的长.,解：,四边形,是菱形，,，,，,.,在,中，,，,，,.,四边形,是矩形，,.,在,中，,，,，,即,的长为,.,3.,（2024昭通昭阳区一模）,如图，,为线段,的中点，连接,，,，且,，过点,作,且,，连接,.,（1）求证：四边形,是矩形；,证明：,为线段,的中点，,.,，,.,又,，,四边形,是平行四边形.,且,为线段,的中点，,，即,，,四边形,是矩形.,（2）连接,交,于点,，若,，,，求,的长.,解：由（1）知,，,.,，,，,，,.,由四边形,是矩形可知,.,在,中，由勾股定理，得,.,，,，,，,，,，,即,解得,的长为,.,4.,（2024昆明寻甸县二模）,如图，平行四边形,的对角线,，,相,交于点,，,，,.,（1）求证：四边形,是矩形；,证明：,四边形,是平行四边形，,，,，,，,.,，,，,，,，,，,平行四边形,是矩形.,（2）若,，,平分,，交边,于点,，过点,作,于点,，求,的长.,解：由（1）可知，四边形,是矩形，,，,，,.,平分,，,，,是等腰直角三角形，,，,.,，,，,，,，,.,，,.,，,是等腰直角三角形，,，即,的长为,.,类型3,菱形的证明与计算,【典例3】,（2024昆明官渡区一模）,如图，在平,行四边形,中，,，,是,的中点，,连接,，过点,作,，交,于点,.,（1）求证：四边形,是菱形；,证明：,四边形,是平行四边形，,，,，,.,，,四边形,是平行四边形.,是,的中点，,，,四边形,是菱形.,（2）若平行四边形,的周长为36，,，求菱形,的面积.,解：,平行四边形,的周长为36，,.,，,，,解得,.,是,的中点，,，,.,，,.,名师点睛,菱形的判定的基本思路,举一反三,5.,（2024楚雄一模）,如图，在平行四边形,中，对角线,与,相交,于点,，,于点,，连接,，,，,.,（1）求证：四边形,是菱形;,证明：,四边形,是平行四边形，,，,，,，,.,，,，,是直角三角形，且,，,，,平行四边形,是菱形.,（2）求,的周长.,解：由（1）知,.,，,，,即,，,，,的周长为,.,6.,（2024昆明西山区一模）,如图，在矩形,中，对角线,的垂直平,分线,与,相交于点,，与,相交于点,，与,相交于点,，连接,，,.,（1）求证：四边形,是菱形；,证明：,四边形,是矩形，,，,.,垂直平分,，,.,在,和,中，,，,.,垂直平分,，,，,，,四边形,是菱形.,（2）若,平分,，,，求矩形,的面积.,解：,平分,，,.,四边形,是菱形，,，,，,.,，,.,，,，,，,，,矩形,的面积为,.,7.,（2024保山一模）,如图，在四边形,中，,，,，对角线,与,相交于点,.,（1）若,，求证：四边形,是菱形；,证明：,，,.,，,四边形,是平行四边形.,对角线,与,相交于点,，,，,，,平行四边形,是菱形.,（2）在（1）的条件下，过点,作,交,于点,，若,，,，求,的长.,解：在菱形,中，,，,.,，,，,.,，,，,，,，,，,，即,解得,.,类型4,正方形的证明与计算,【典例4】,（2024楚雄二模）,如图，在平行四边形,中，,，,，过点,作边,的垂线交,的延长线于点,，,是,垂足，连接,，,，,交,于点,.,（1）求证：四边形,是正方形；,证明：,，,，,.,四边形,是平行四边形，,，,.,在,与,中，,，,，,四边形,是平行四边形.,，,，,四边形,是正方形.,（2）若,，求,的值.,解：由（1）知,，,.,四边形,是平行四边形，,，,，,，,，,，即,.,，,.,，,，,.,由（1）知，,，,，,.,举一反三,8.如图，已知四边形,为正方形，,，,为对角线,上一动点，,连接,，过点,作,，交射线,于点,，以,，,为邻边作矩形,，连接,.,（1）求证：矩形,是正方形.,证明：如图，过点,作,于点,，过点,作,于点,.,四边形,为正方形，,，,，,，且,，,四边形,为正方形，,.,四边形,是矩形，,.,在,和,中，,，,，,矩形,为正方形.,（2）探究：,的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，,请说明理由.,解：,的值为定值.,矩形,为正方形，,，,.,四边形,是正方形，,，,，,.,在,和,中，,，,.,而,是定值.,名师点睛,正方形的判定的基本思路,