复习课第1课时空间向量与立体几何1.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=CA,b=CB,则a+b为()A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)2.如图,设OA=a,OB=b,OC=c,若AN=NB,BM=2MC,则MN=()A.12a+16b-23cB.-12a-16b+23cC.12a-16b-13cD.-12a+16b+13c3.若向量a=(x,4,5),b=(1,-2,2),且a与b夹角的余弦值为26,则x=()A.3B.-3C.-11D.3或-114.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.1055.如图,平面PAD平面ABCD,PAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,PC与平面ABCD成30角,则ABAD的值等于()A.1B.2C.2D.36.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1和C1D1的中点,则下列结论正确的是()A.A1C1平面CEFB.B1D平面CEFC.CE=12DA+DD1-DCD.CE与AD1所成角的余弦值为267.(多选题)如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是()A.(AA1+AB+AD)2=2AC2B.AC1(AB-AD)=0C.向量B1C与AA1的夹角是60D.BD1与AC所成角的余弦值为638.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且向量a与b共线,则x=,y=.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为BB1,CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为.10.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA底面ABCD,AP=4,过点A的平面垂直于侧棱PD,交侧棱PC于点H,则点H分线段PC的比PHHC等于.11.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,ABCD且ADC=90, AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点.(1)求直线A1B1到平面ABE的距离;(2)求平面ABE与平面BEC的夹角的余弦值.参考答案1B解析:a=CA=(-1,0,-2),b=CB=(-4,9,0),则a+b=(-5,9,-2).2A解析:由题可知,MN=MB-NB=23CB-12AB=23(OB-OC)-12(OB-OA)=12OA+16OB-23OC=12a+16b-23c.3A解析:因为ab=(x,4,5)(1,-2,2)=x-8+10=x+2,且a与b夹角的余弦值为26,所以x+2x2+42+521+4+4=26,解得x=3或-11(舍去).故选A.4D解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1).BC1=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),且AC为平面BB1D1D的一个法向量.cos=BC1AC|BC1|AC|=458=105.设BC1与平面BB1D1D所成的角为,则sin =|cos|=105.BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为105.5C解析:取AD的中点O,连接OP,OC.由题意知OPAD,因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以OP平面ABCD.以O为原点,OD所在直线为x轴,过点O,平行于DC的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=2a,AB=2b,则P(0,0,3a),C(a,2b,0),于是OC=(a,2b,0),PC=(a,2b,-3a).OP平面ABCD,PC与平面ABCD所成的角即PCO.cosPCO=|OCPC|OC|PC|=a2+4b2a2+4b24a2+4b2=32,可得b=2a.ABAD=2b2a=2.6ACD解析:如图,对于A,因为E,F分别是A1D1和C1D1的中点,故EFA1C1,故A1C1平面CEF,A正确.对于B,建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则B1D=(-2,-2,-2),FC=(0,1,-2).故B1DFC=0-2+4=20.故B1D,FC不互相垂直,又CF平面CEF,故B1D平面CEF不成立,B错误.对于C,同B中空间直角坐标系,有CE=(1,-2,2),12DA+DD1-DC=12(2,0,0)+(0,0,2)-(0,2,0)=(1,-2,2),故CE=12DA+DD1-DC成立,C正确.对于D,同B中空间直角坐标系,有CE=(1,-2,2),AD1=(-2,0,2),所以cos=CEAD1|CE|AD1|=26,故D正确.7AB解析:以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60,可设棱长为1,则AA1AB=AA1AD=ADAB=11cos 60=12,(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1AB+2ABAD+2AA1AD=1+1+1+3212=6,而2AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2ABAD)=21+1+212=23=6,所以A正确.AC1(AB-AD)=(AA1+AB+AD)(AB-AD)=AA1AB-AA1AD+AB2-ABAD+ADAB-AD2=0,所以B正确.向量B1C=A1D,显然AA1D为等边三角形,则AA1D=60.所以向量A1D与AA1的夹角是120,向量B1C与AA1的夹角是120,则C不正确.又BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD,则BD1=(AD+AA1-AB)2=2,|AC|=(AB+AD)2=3,BD1AC=(AD+AA1-AB)(AB+AD)=1,所以cos=BD1AC|BD1|AC|=123=66,所以D不正确.816-32解析:由题意得y0,2x1=1-2y=39,解得x=16,y=-32.93510解析:以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),F12,1,0,D1(0,1,1),所以A1E=1,0,-12,A1D1=(0,1,0).设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),则nA1E=0,nA1D1=0,即x-12z=0,y=0.所以z=2x,y=0.取n=(1,0,2).连接A1F,则A1F=12,1,-1,所以点F到平面A1D1E的距离d=|A1Fn|n|=12-25=3510.104解析:由题意,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,4),所以PD=(0,2,-4),PC=(2,2,-4),设PH=tPC,则PH=(2t,2t,-4t),所以AH=AP+PH=(2t,2t,4-4t),因为过点A的平面垂直于侧棱PD,交侧棱PC于点H,所以PDAH,所以(0,2,-4)(2t,2t,4-4t)=0,所以22t-4(4-4t)=0,所以t=45,所以点H分线段PC的比PHHC=4.11.解:(1)由题意知AD,DC,DD1两两垂直,故可建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.由已知条件可得A(1,0,0),C(0,3,0),B(1,23,0),E(0,3,1),A1(1,0,2),(1)AB=(0,23,0),AE=(-1,3,1).设n=(x,y,z)是平面ABE的法向量,则nAB=0,nAE=0,即23y=0,-x+3y+z=0.所以y=0,z=x.取x=1,则z=1.所以,n=(1,0,1)是平面ABE的一个法向量.又因为AA1=(0,0,2),所以点A1到平面ABE的距离为|AA1n|n|=22=2.因为易证A1B1平面ABE,所以直线A1B1到平面ABE的距离即为点A1到平面ABE的距离.所以直线A1B1到平面ABE的距离为2.(2)BC=(-1,-3,0),CE=(0,0,1),设平面BEC的法向量为m=(x0,y0,z0),则mBC=0,mCE=0.所以-x0-3y0=0,z0=0.所以x0=-3y0,z0=0.取m=(3,-1,0).所以cos=mn|m|n|=322=64.设平面ABE与平面BEC的夹角为,则cos =|cos|=64.所以平面ABE与平面BEC的夹角的余弦值为64.8学科网（北京）股份有限公司