复习参考题4复习巩固1选择题1. 函数与的图象（ ）A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称【答案】C【解析】【分析】令，则，由与的图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令，则与的图象关于原点对称，与的图象关于原点对称.故选：【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.2. 如图所示，中不属于函数的一个是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象可判断不过点，又指数函数恒过定点即可判断.【详解】解：已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点，图象不过点.故选：【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.3. 如图所示，中不属于函数的一个是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性及特殊值可判断.【详解】解：，都是上的减函数，只有在上为增函数.又时，所以不满足.故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质，属于基础题.4. 用“”“”“=”填空：（1）_； （2）_；（3）_； （4）lge_ln0.8；（5）_； （6）_.【答案】 . . . . . . 【解析】【分析】根据指数函数的单调性，对数函数的单调性，利用中间量“”、“”比较大小即可【详解】解：（1），（2），（3），为减函数.又，（4），（5），（6），为上的增函数.又，故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）5. 借助信息技术，用二分法求：（1）方程的最大的根（精确度为0.01）；（2）函数和交点的横坐标（精x确度为0.1）.【答案】（1）2.5234375；（2）2.5625【解析】【分析】（1）令，利用计算机软件画出函数图象，根据图象判断函数的最大零点在区间内，再用二分法求出函数在内的零点的近似值.（2）构造函数判断函数的单调性，再根据特殊值可判断函数在存在零点，再由二分法求出零点的近似值.【详解】（1）令，函数图象如图所示，函数分别在区间,和区间内有一个零点，所以方程的最大的根应在区间内.取区间的中点，用计算器可算得，因为，所以.再取的中点，用计算器可算得.因为，所以，.同理，可得,，因为，所以方程的精确度为的最大根可取为.（2）构造函数，根据与的单调性知在上为增函数，列出的对应值表：x123-1-0.1990.144通过上表可知方程的根在内，即函数与的交点在区间内，设方程的根为，取区间的中点，得，取，得.取，得.取，得.函数和交点的横坐标可取为.【点睛】本题考查二分法求函数的零点和方程的解，借助信息技术和计算器得以实现，属于中档题.6. 已知函数，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围.【答案】答案不唯一，见解析【解析】【分析】作出的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与图象的交点个数，数形结合即可得解.【详解】解：作出的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与图象的交点个数.当时，函数在上单调递减，上单调递增，当时，函数在上单调递增.当实数解的个数为时，；当实数解的个数为时，或；当实数解的个数为时，.【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于基础题.综合运用5选择题7. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为对数函数为增函数，当时，即，因为指数函数为减函数，当时，即，因此，.故选：A.8. 已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出的图象，结合图象可知在上为减函数，即可得到，再由对数的运算比较、的关系，即可得解.【详解】解：，作出的图象如图在上为减函数.，即.又故选：【点睛】本题考查对数函数的应用，属于中档题.9. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由得，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、的图象，由图象知，.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.10. 设，求证：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算可证；（2）根据指数幂的运算可证；（3）根据指数幂的运算可证【详解】（1）；（2），又，；（3），又11. 指数函数的图象如图所示，求二次函数图象顶点的横坐标的取值范围.【答案】【解析】【分析】由图象知函数为减函数，可得，再表示出顶点的横坐标即可得解.【详解】解：由图可知，函数在定义域上单调递减，顶点坐标为顶点的横坐标为顶点的横坐标的取值范围是【点睛】本题考查指数函数的性质，二次函数的性质，属于中档题.12. 1986年4月26日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时原有的锶90还剩百分之几？（参考数据）【答案】【解析】【分析】根据题意得出年后的含量，计算即可【详解】解：设年后的锶90的剩余含量为，则，将上式两边取常用对数， .【点睛】本题考查指数函数的应用，函数值的计算，属于基础题.13. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么：（1）10h后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？（3）画出P关于t变化的函数图象.【答案】（1）81%；（2）33h；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据条件可计算，从而可得的值，进而得出答案；（2）令，根据指数运算性质求出的值；（3）求出的解析式，根据指数函数单调性作出大致图象【详解】（1）当时，当时，即.，当时，即10h后，还剩81%的污染物.（2）设污染物减少50%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得.，即污染物减少50%大约需要花33h.（3）图象大致如图所示.【点睛】本题考查了函数值的计算，指数与对数的运算性质，属于基础题14. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,现有62的物体，放在15 的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52.（1）求k的值（精确到0.01）；（2）若要将物体的温度降为42 ，32 ，求分别需要冷却的时间.【答案】（1）；（2）冷却约2min后，物体的温度为42 ；冷却约4min后，物体的温度为32.【解析】【分析】（1）代入公式计算的值；（2）令函数值分别等于42，32，计算的值即可【详解】（1）将代入中，得.，两边取对数，得.（2），.把代入上式，得.当时,.当时,.答：，冷却约2min后，物体的温度为42 ；冷却约4min后，物体的温度为32.【点睛】本题考查了函数值的计算，属于基础题拓广探索15. 已知，且（1）求的定义域.（2）判断的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）；（2）偶函数，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于零可求得和的定义域，取交集可得定义域；（2）整理可得，验证得，得到函数为偶函数.【详解】（1）令得： 定义域为令得： 定义域为的定义域为（2）由题意得：，为定义在上的偶函数【点睛】本题考查函数定义域的求解、奇偶性的判断；求解函数定义域的关键是明确对数函数要求真数必须大于零，且需保证构成函数的每个部分都有意义.16. 对于函数.（1）探索函数的单调性，（2）是否存在实数a使函数为奇函数？【答案】（1）在R上为增函数；（2）存在实数【解析】【分析】（1）根据题意，分析函数的定义域，由作差法分析可得结论；（2）根据题意，假设存在实数使函数为奇函数，则有，即，分析可得的值【详解】（1）函数的定义域为，而为增函数，为减函数，故是增函数.证明如下：任取，且，则，.故在上为增函数.（2）假设存在实数a，使为奇函数，则，即，故存在实数，使函数为奇函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出的值，属于基础题17. 如图，函数的图象由曲线段OA和直线段AB构成.（1）写出函数的一个解析式；（2）提出一个能满足函数图象变化规律的实际问题.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据图象，要求写出函数的一个解析式；因此当时，可能是二次函数的图象，当时，可能是一元一次函数的图象，用待定系数法求得解析式即可；（2）物理中位移与时间函数关系复合此图象，可设计关于，两地运动的题目，符合要求【详解】解：（1）当时，设，由图知， ，；当时，设，由图知，；（2）例如，一辆车从甲地到乙地去办事，时间用（小时）表示，位移用（公里）表示，去时匀加速前进，用时2小时，回来时，匀速直线运动，用时3小时，图象如图所示，求位移关于时间的函数关系式【点睛】本题考查了分段函数解析式求法，待定系数法求函数解析式，函数与实际问题的联系等，属于中档题