第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式例1求不等式的解集.分析：因为方程的根是函数的零点，所以先求出的根，再根据函数图象得到的解集.解：对于方程，因为，所以它有两个实数根.解得，.画出二次函数的图象（图2.3-2），结合图象得不等式的解集为.例2求不等式的解集.解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得.画出二次函数的图象（图2.3-3），结合图象得不等式的解集为.例3求不等式的解集.解：不等式可化为.因为，所以方程无实数根.画出二次函数的图象（图2.3-4）.结合图象得不等式解集为.因此，原不等式的解集为.例4一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得.移项整理，得.对于方程，方程有两个实数根，画出二次函数的图象（图2.3-6），结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为.因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产摩托车数量在5159辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益例5某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：）之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1）？解：根据题意，得.移项整理，得.对于方程，方程有两个实数根，.画出二次函数的图象（图2.3-7），结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为.因为车速，所以.而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80.练习1. 求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）或； （2） （3） （4）无解 （5）或； （6）R【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解.【小问1详解】解：，解得或，所以不等式的解集是或；【小问2详解】由，得，即，解得，所以原不等式的解集为：；【小问3详解】不等式的相应方程的两个根为，则不等式的解集为；【小问4详解】不等式，即为，所以原不等式无解；【小问5详解】不等式即为，则，解得或，所以原不等式的解集为或；【小问6详解】其相应方程的判别式为，所以不等式的解集为R；2. 当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0?(1);(2);(3);(4).【答案】(1)等于0,;大于0,或;小于0,.(2)等于0,;大于0,;小于0,或.(3)等于0,;大于0,R;小于0,.(4)等于0,;小于0,;大于0,.【解析】【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系,结合二次函数的图像与性质即可求解.【详解】（1）二次函数令由一元二次方程的求根公式可知所以结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与轴有两个交点,所以当时,函数值等于0;当或时,函数值大于0;当时,函数值小于0.（2）二次函数令解一元二次方程可知所以结合二次函数的图像与性质可知:当时,函数值等于0;当或时,函数值大于0;当时,函数值小于0.（3）二次函数则结合二次函数的图像与性质可知:当函数值等于0时为;当时,函数值大于0;当函数值小于0时为;（4）二次函数则结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与轴有一个交点,所以:当时函数值等于0;当时,函数值大于0;当函数值小于0时为;【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系,二次函数图像与性质的应用,属于基础题.练习3. x是什么实数时,有意义?【答案】或【解析】【分析】根据二次根式有意义条件可知根据二次不等式解法即可求得的取值范围.【详解】由知,解得或.因此,当或时,有意义.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,一元二次不等式的解法,属于基础题.4. 如图,在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米?【答案】大于等于1m,且小于3m.【解析】【分析】设花卉带的宽度应为,根据题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求解.【详解】设花卉带的宽度应为,则,即,化简得而答:花卉带的宽度应大于等于1m,且小于3m.【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题.5. 某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格?【答案】销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)【解析】【分析】设削笔器的销售价格定为,根据题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得削笔器的销售价格范围.【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个由题意得,即方程的两个实数根为,解集为又故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.【点睛】本题考查了一元二次不等式在实际问题中的应用,属于基础题.习题2.3复习巩固6. 求下列不等式的解集：（1）； （2）；（3）； （4）.【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.【解析】【分析】（1）将所求不等式变形为，解此不等式即可；（2）利用一元二次不等式的解法解此不等式即可；（3）将所求不等式变形为，利用一元二次不等式的解法解此不等式即可；（4）将所求不等式变形为，计算，由此可得出该不等式的解集.【详解】（1）原不等式等价于，即，所以原不等式的解集是；（2）原不等式的解集是；（3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或；（4）原不等式等价于，则原不等式的解集是.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在求解时要将二次项系数化为正数，熟悉一元二次不等式的解法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.7. 是什么实数时，下列各式有意义？（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出，解此不等式即可；（2）由题意得出，解此不等式即可.【详解】（1）要使有意义，需.恒成立，所以不等式的解集为，因此，时，有意义；（2）要使有意义，需，即，.因此时，有意义.【点睛】本题考查利用二次根式有意义求未知数的取值范围，解题的关键就是利用偶次根式的被开方数非负建立不等式，考查计算能力，属于基础题.综合运用8. 已知，求，.【答案】或，或.【解析】【分析】求出集合、，然后利用交集和并集的定义可求出集合，.【详解】或，或.因此，或，或.【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.9. 一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系满足关系，其中【答案】【解析】【分析】将已知数据代入公式中计算可得答案.【详解】由已知得，化简得：，设方程的两个根为，则，所以，所以最多停留.10. 已知集合，求.【答案】【解析】【分析】解出集合、，然后利用并集的定义可求出集合.【详解】，或，画数轴如图，可知.【点睛】本题考查并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.拓广探索11. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？【答案】13.7，15【解析】【分析】设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，然后由求解.【详解】如图所示：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，若在点B处受到风暴的影响，则OB=450，因为，所以，即，解得，又，所以从码头现在起大约小时后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约15个小时.