第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）.（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？分析：根据3.1.2例8中公式，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式，再结合的解析式，即可得出y关于x的函数解析式.解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得.令，得.根据个人应纳税所得额的规定可知，当时，.所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为.结合3.1.2例8的解析式，可得：当时，所以；当时，所以；当时，所以；当时，所以；当时，所以；当时，所以；当时，所以；当时，所以.所以，函数解析式为. （2）根据，当时，所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元.例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示，（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.分析：当时间t在内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应.根据图，在时间段，内行驶的平均速率分别为50，80，90，75，65，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述.解：（1）阴影部分的面积为.阴影部分面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360.（2）根据图，有.这个函数的图象如图所示.练习1. 若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？【答案】没有超速.【解析】【分析】先根据题意得到函数的解析式，然后根据刹车后滑行距离为，求出相应的车速，与限速比较后可得结论【详解】由题意知点在函数的图象上，解得得，当时，则有，整理得，这辆车没有超速行驶【点睛】本题考查二次函数模型在实际中的应用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式，考查应用能力和计算能力，属于基础题2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？【答案】边长为的正方形时【解析】【分析】设广告牌的长为，则宽为，根据矩形的面积公式配方即可求解.【详解】解：设广告牌的长为，则宽为.设广告牌的面积为.则.当时，y取最大值.此时宽为.当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大.【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，注意定义域的取值范围，属于基础题.3. 某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则：（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析.【答案】（1），；（2）分析见解析【解析】【分析】（1）根据题意并利用常见函数的模型即可列出关系式.（2）作出的图像，由图像可得出公司的赢利与亏损.【详解】解：（1）由题意，得，.（2）画出的图象如图.由图象可知，当时，该公司亏损；当时，公司不赔不赚；当时，公司赢利.【点睛】本题考查了常见函数的模型：一次函数、反比例函数的应用，属于基础题.习题3.4综合运用4. 某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速表示为时间的函数，并画出函数的图象【答案】见解析【解析】【分析】根据分段函数写出x,v的表达式，作图即可【详解】由题意得：路程表示为时间的函数：图像如图：车速v()表示为时间的函数：图像如图【点睛】本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题能力，着重考查分段函数的概念是基础题5. 要建造一个容积为，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/，池底的造价为135元/，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内（精确到0.1 m）？【答案】长度应该在内【解析】【分析】设水池的长为，宽为，总造价为元；从而可得，从而求解二次不等式的解集【详解】解：设水池的长为，宽为；总造价为元；则，故；则；解得，；故水池的长在到时，才能使水池的总造价控制在万元以内【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题6. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过元超过但不超过的部分元超过的部分元若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量【答案】【解析】【分析】本题可设此户居民本月用水量为，然后分为、三种情况进行讨论，结合计费方法即可得出结果.【详解】设此户居民本月用水量为，当时，解得，不满足题意；当时，解得，满足题意；当时，解得，不满足题意，综上所述，此户居民本月用水量为.拓广探索7. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.（1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义；（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？【答案】（1）点A见解析，点B见解析，射线AB见解析；（2）两种建议见解析【解析】【分析】（1）观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，即可得出结论（2）观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据图象，即可得出合理的建立【详解】解：（1）点A的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平；射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利.（2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变.【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键8. 下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据：描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式【答案】图见解析，.【解析】【分析】本题可结合表中数据绘出函数图像，然后令，取点、代入函数解析式进行计算，即可得出结果.【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像：结合函数图像选择一次函数建立函数模型，设函数解析式为，取点、代入函数解析式中，得，解得，故函数解析式为，经检验满足题意.