第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数例1 已知指数函数（，且），且，求，的值.分析：要求，的值，应先求出的解析式，即先求a的值.解：因为，且，则，解得，于是.所以，.例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为和，则，.利用计算工具可得，当时，.当时，.结合图可知：当时，当时，.当时，.这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，游客给B地带来的收入超过了A地；由于增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为.如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么.当时，利用计算工具求得.所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.例3 比较下列各题中两个值的大小：（1），；（2），；（3），.分析：对于（1）（2），要比较两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来.解：（1）和可看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.因为底数，所以指数函数是增函数.因为，所以.（2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数.因，所以.（3）由指数函数的性质知，所以.例4 如图，某城市人口呈指数增长.（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.4.2.1 指数函数的概念练习1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质选择【详解】由于（，且），所以A，B，D都不正确，故选C.【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，属于基础题如指数函数图象恒过点，值域是2. 已知函数，且，求函数的一个解析式.【答案】【解析】【分析】用连乘法求，然后用归纳法归纳一个结论【详解】由己知得，又.【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论3. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）【答案】6.16倍【解析】【分析】根据平均增长率问题可得【详解】设现在的蓝藻量为，经过30天后的蓝藻量为，则，经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的6.16倍.【点睛】本题考查平均增长率问题，平均增长率问题的函数模型是4.2.2 指数函数的图象和性质练习4. 在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系.【答案】见解析【解析】【分析】根据指数函数图象与性质作图，由图观察对称性【详解】和的图象如图，和的图象关于y轴对称【点睛】本题考查指数函数的图象，属于基础题5. 比较下列各题中两个值的大小：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由函数的单调性比较；（2）由函数的单调性比较；（3）与中间值 1比较【详解】（1）函数在上是增函数，.（2）函数在上为减函数，.（3）.【点睛】本题考查比较幂的大小，同底数的幂可利用指数函数的单调性比较，不同底数的幂可借助中间值为1比较大小6. 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.【答案】见解析【解析】【分析】定义域是是增函数，开始图象较平缓，后来急剧上升，结合指数函数图可得【详解】经时间，癌细胞数量为，图象如图.【点睛】本题考查增长问题，考查指数函数的应用习题4.2复习巩固7. 求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）R；（2）R；（3）R；（4）.【解析】【分析】根据指数幂成立的条件即可求函数的定义域【详解】解：（1）函数的定义域为；（2）函数的定义域为；（3）函数的定义域为；（4）要使函数有意义，则，则函数的定义域为【点睛】本题主要考查指数型函数的定义域，属于基础题8. 一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式.【答案】【解析】【分析】由题意可知函数模型为指数型，由此可得函数解析式【详解】解：由题意，今后年内，年产量随时间变化的增长率为，又原来的年产量是a件，【点睛】本题主要考查函数模型的建立，属于基础题9. 比较满足下列条件的m，n的大小：（1）； （2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可比较大小【详解】解：（1）函数在上单调递增，且，；（2）函数在上单调递减，且，；（3）函数在上单调递减，且，；（4）函数在上单调递增，且，【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题10. 设函数，且.（1）求函数的增长率r；（2）求的值.【答案】（1）0.15；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，由此可求得答案；（2）代入解析式即可求出【详解】解：（1）由已知得，解得.所以增长率r约为0.15.（2）由（1）知，.【点睛】本题主要考查指数的运算，属于基础题综合运用11. 求下列函数可能的一个解析式：（1）函数的数据如下表：x0123.504.205.04（2）函数的图象如图：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过描点可以判断函数可以近似看成一次函数，设，再代入其中两点即可算出答案；（2）由图象可知函数模型为指数型，设，代入两点坐标即可求出答案【详解】解：（1）设.把代入得，解得，为可能的解析式；（2）设，将代入，得，解得，为一个可能的解析式【点睛】本题主要考查根据图象建立合适的函数模型，属于开放性的基础题12. 比较下列各题中两个值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】（1）由单调递增，所以；（2）由单调递减，所以；（3）由单调递增，所以；（4）由单调递减，所以.13. 当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗？【答案】能【解析】【分析】碳14的含量呈指数型变化，由此可得出结论【详解】解：由题意，经过九个“半衰期后”，碳14的含量为，所以能探测到【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题14. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x.（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.【答案】（1）.（2）（元）.【解析】【分析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和随变化的函数关系式；（2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和【详解】解：（1）根据题意可得；（2）由（1）可知，当时，5期后的本利和约为元【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题拓广探索15. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性.【答案】（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数.【解析】【分析】（1）由函数图象过原点可得，又由图象无限接近直线可得，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；（2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得，根据单调性的性质即可求得函数的单调性【详解】解：（1）由题意知，图象如图： （2），为偶函数，又，在上为减函数，在上为增函数【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题16. 已知f(x)=ax，g(x)=(a0，且a1).（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；（2）如果f(x)1时，x的取值范围是；当0a1、0a1、0a1时，f (x)=ax是R上的增函数，由于01，所以g(x)=是R上的减函数；当0a1，所以g(x)=是R上的增函数；（2），当a1时，x0；当0a0.当a1时，x的取值范围是；当0a1时，x的取值范围是.【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.