平转坐标系平转坐标系是以已知一点为坐标原点确定其它点的方位和距离的三维坐标系定义假设P点在三维空间的坐标为（u，v，）,坐标原点为O。那么|u|是P点到原点在y轴上的距离，|v|是P点到原点在X轴上的距离，是X轴和OP点形成的平面与XOY平面的夹角，02。这里当u=0，v=0时，失去意义。如用平转坐标系，找出P点的空间位置：1. 从原点在X轴上移动u单位到达P1(u，0，0)点。2. 以X轴为旋转轴，将XOY平面向外旋转角。3. 在新平面上垂直X轴移动v单位到达P点（u，v，）。坐标系变换一、平转坐标系与笛卡尔坐标系的关系1.平转坐标系（u，v，）与笛卡尔坐标系（x，y，z)的转换关系:x=uy=vcosz=vsin2.反之，笛卡尔坐标系（x，y，z)与平转坐标系（u，v，）的转换关系：u=xv=ysec=arccot (y/z)二、平转坐标系与球坐标系的关系1.平转坐标系（u，v，）与球坐标系（r，)的转换关系:r2=u2+ v2=arcos(vsin/r)=arc tan (vcos/u)2.反之，球坐标系（r，)与平转坐标系（u，v，）的转换关系：u=rsincosv= rsinsinsec= arccot (tansin)平转坐标系下的微分关系在平转坐标系中，沿基轴方向的五个增量元为：dl=(dx2+dy2) 1/2ds=ydxdh=yd面积元的体积为：dsv=dl*dh=(dy2+dx2) 1/2yd体积元的体积为：dV=ds*dh/2=y2 dxd/2其中y=f(x)f()，当=0时，f()1，y=f(x)平转坐标系下的积分关系 侧面积 体积一、积分举例：1. 已知圆的方程为y2+x2=r2，y=dy/dx=-x/( r2- x2) 1/2 ，y=f(x)求圆的周长，圆的面积，旋转体球的表面积，旋转体球的体积圆的周长圆的面积 球的表面积球的体积2. 已知直线y=tanx和y=0和x=h组成的三角形，其中0xh,l2= h2+r2，求三角形的旋转体圆锥表面积和圆锥的体积dy/dx=tan，y=f(x)圆锥的侧面积圆锥的体积 3.已知y=tanxcos,y=0,x=h 在XOY平面上组成三角形其中0xh,l2= h2+r2，求旋转图形的侧面积和体积 旋转体的侧面积 旋转体的体积 4. 已知y1=h, y2=-x+a+h, y3=0, x1=0在XOY平面上组成梯形，0xa+h，求旋转图形的侧面积和体积 旋转体的侧面积ah旋转体体积5.已知y1=h, y2=-h, y3=x-a-h, x1=0在XOY平面上组成梯形，0xa+2h，求旋转图形的侧面积和体积 a+2hh-ha旋转体的侧面积 旋转体体积