北京市西城区20232024学年度第一学期期末试卷高三数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（ ）A. B. C. D. 5. 已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 26. 在中，则的面积为（ ）A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ）A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心8. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A. 47mB. 48mC. 49mD. 50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）12. 设，函数.若曲线关于直线对称，则的一个取值为_.13. 已知函数，则的定义域是_；的最小值是_.14. 已知抛物线：.则的准线方程为_；设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为_.15. 设，函数给出下列四个结论：在区间上单调递减；当时，存在最大值；当时，直线与曲线恰有3个交点；存在正数及点和，使.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数的一个零点为.（1）求值及的最小正周期；（2）若对恒成立，求的最大值和的最小值.17. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件喜爱互不影响.（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，其方差为；，的方差为.写出，的大小关系.（结论不要求证明）18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求四面体体积.19. 已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求的方程；（2）过点直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程.20. 已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当且时，判断与的大小，并说明理由.21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：，且；与不同时在数对序列中.（1）当，时，写出所有满足的数对序列；（2）当时，证明：；（3）当为奇数时，记的最大值为，求答案：北京市西城区20232024学年度第一学期期末试卷高三数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式求得集合，由此求得.【详解】由解得或，所以，所以.故选：C2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，从而求得对应点所在象限.【详解】，对应点，在第一象限.故选：A3. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值以及函数的图象、单调性等知识确定正确答案.【详解】A选项，若，满足，但，所以A选项错误.B选项，若，满足，但，所以B选项错误.C选项，若，满足，但，所以C选项错误.D选项，对于函数，图象如下图所示，由图可知函数在上单调递增，所以D选项正确.故选：D4. 已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案.【详解】由于焦点，所以且双曲线的焦点在轴上，双曲线的渐近线，所以，结合可得，所以双曲线的方程为.故选：D5. 已知点，点满足.若点，其中，则的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系求得正确答案.【详解】由于，所以是单位圆上的点，由于，其中，所以是直线上的点，画出图象如下图所示，由图可知，的最小值为.故选：C 6. 在中，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，所以，所以.故选：B7. 已知函数，则（ ）A. 在上减函数，且曲线存在对称轴B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.【详解】由得，解得，所以的定义域是，在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数，所以是奇函数，图象关于原点对称，即D选项正确.故选：D8. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据数量积的定义，结合，利用充分、必要条件的定义，结合不等式性质进行分析判定.【详解】若成立，则，所以充分性成立，若成立，即,等价于（因为），当，时，满足则，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A9. 设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案.【详解】依题意，若，则，此时不存在符合题意的，所以.若，则，当为正偶数时，所以存在无穷多个正整数，使.当时，其中，所以，此时不存在符合题意的.当时，其中，当是正奇数时，所以，此时不存在符合题意的；当是正偶数时，所以存在无穷多个正整数，使.综上所述，的取值范围是.故选：B10. 如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A. 47mB. 48mC. 49mD. 50m【答案】A【解析】【分析】根据梯形中位线求得，进而求得正确答案.【详解】依题意可知六点共面，设正六边形的中心为，连接，平面且平面，依题意可知相交于，连接交于，连接交于，根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分，则相互平分，根据梯形中位线有，即，在梯形中，是的中点，则是的中点，所以，同理可得，所以.故选：A【点睛】关键点睛：研究空间图形结构，关键点在于利用空间平行、垂直、中点等知识.在本题中，柱子与地面垂直，柱子之间相互平行.柱子之间高度不相同，则构成了梯形，则可考虑利用中位线来对问题进行求解.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式的通项公式为，取，得的系数为.故答案为：12. 设，函数.若曲线关于直线对称，则的一个取值为_.【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案.【详解】由于曲线关于直线对称，所以，解得，由于，则.故答案为：，（答案不唯一）13. 已知函数，则的定义域是_；的最小值是_.【答案】 . . 【解析】【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为，又由，令，可得令，因为，当且仅当时，即时，即时取等号，所以，所以，所以函数的最小值为.故答案为：；.14. 已知抛物线：.则的准线方程为_；设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据抛物线方程求得准线方程，利用以及抛物线的焦半径公式求得点的横坐标.【详解】抛物线，所以准线方程为，焦点，设，则，由于轴，平分，所以，所以，即，所以的横坐标为.故答案为：；15. 设，函数给出下列四个结论：在区间上单调递减；当时，存在最大值；当时，直线与曲线恰有3个交点；存在正数及点和，使.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】对于，分成，两种情况讨论在区间上单调性；对于，结合函数的单调性求函数的最值；对于，当时，结合函数与的单调性得出此时无交点，当时，设，利用特殊值，得出交点个数进行判断；对于，令，进行验证.【详解】对于，当时，在上单调递减，此时.当时，在区间上单调递减显然成立；当时，当时，在单调递减，此时，所以在区间上单调递减，故成立；对于，如图，当时，当时，在单调递减，在单调递增，此时的最大值为；当时，在上单调递减，此时的最大值为，所以存在最大值，最大值为，故正确；