2024 北京杨镇一中高二 10 月月考 数 学 本试卷共本试卷共 4 页，满分页，满分 150 分分.考试时长考试时长 120 分钟分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项求的一项.1.已知集合0,1,2A=，2,3B=，那么集合AB等于（）A.2 B.1,2 C.2,3 D.0,1,2 2.某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调查已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（）A.10 B.20 C.30 D.40 3.不等式 x（x1）0 的解集为（）A.01xx B.10 xx C.0 x x 或1x D.1x x 或0 x 4.在ABC中，a4，A45，B60，则 b（）A.2 2 B.2 3 C.2 6 D.4 2 5.sin15 cos15=（）A.14 B.34 C.12 D.32 6.向量a，b在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个小正方形的边长为 1，则ab=（）A.2 B.5 C.2 2 D.3 7.如图，在长方体1111OABCO ABC中，4OA=，6OC=，12OO=，点 P 是11BC的中点，则点 P 的坐标为（）A.(2,6,2)B.(3,4,2)C.(4,6,2)D.(6,2,1)8.已知()()1,2,0,2,0,1abab=，与的夹角为，则（）A.ab B./ab C.ab=D.1cos2=9.如图，空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点 M 在OA上，且23OMOA=，点 N 为BC中点，则MN等于（）A.111222abc+B.211322abc+C.221332abc+D.221332abc+10.在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，E，F，G分别为棱1AA，BC，1CC的中点，动点H在平面EFG内，且1DH=.则下列说法正确的是（）A.存在点H，使得直线DH与直线FG相交 B.存在点H，使得直线DH 平面EFG C.直线1B H与平面EFG所成角的大小为3 D.平面EFG被正方体所截得的截面面积为3 32 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11.已知向量()1,3am=，()2,4,6b=.若ab，则实数m=_.12.sin13 cos32cos13 sin32+=_.13.已知ABC中，45,2 2,3AABAC=，那么 BC 等于_.14.如图，在正三棱柱111ABCABC中，1AB=，12AA=，D为1B B的中点，则异面直线1AB与1C D所成角的余弦值为_ 15.如图，在多面体ABCDES中，SA 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DESA，22SAABDE=，M，N分别是线段BC，SB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是_ （1）存在点Q，使得NQSB；（2）存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60；（3）三棱锥QAMN体积的最大值是23；（4）当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 85 分分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知函数()sin6f xAx=+，()01f=.（1）求A；（2）函数()f x的最小正周期；（3）求函数()f x的最小值及相应的x的值.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a=，3c=，1cos4B=.（1）求b的值；（2）求sinC的值；（3）求ABC的面积.18.如图，在直三棱柱111ABCABC中，1CACB=，90BCA=，12AA=，N 为1A A的中点.（1）求1BN BC；（2）求直线1AB与1BC所成角的余弦值.19.如图，在长方体1111ABCDABC D中，11ADAA=，2AB=，E 为 AB 的中点.（1）证明：11D EAD；（2）求点 E到平面1ACD的距离；（3）求平面1AD E与平面1ACD夹角的余弦值.20.如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ADCD，/AD BC，2PAADCD=，3BC=.E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC=.（1）求证：CD 平面PAD；（2）求直线PC与面AEF所成角的正弦值；（3）在线段PB上是否存在点G，使得A、E、F、G四点共面，如果存在求出PGPB的值；如果不存在说明理由.21.已知是棱长为2的正四面体ABCD，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为M，若M中元素的个数为k，则称为的k阶等距平面，M为的k阶等距集.（1）若为的 1 阶等距平面且 1 阶等距集为 a，求a的所有可能值以及相应的的个数；（2）已知为的 4 阶等距平面，且点A与点,B C D分别位于的两侧.若的 4 阶等距集为,2,3,4bbbb，其中点A到的距离为b，求平面BCD与夹角的余弦值.参考答案 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项求的一项.1.【答案】A【分析】由交集定义可直接求得结果.【详解】由交集定义知：2AB=.故选：A.2.【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的30035005=，则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的人数为350305=人.故选：C.3.【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集.【详解】方程()10 x x=有两个根 0,1，则不等式()10 x x的解集为01xx 故选：A 4.【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【详解】由正弦定理34sin22 6sinsinsin22abaBbABA=故选：C 5.【答案】A【分析】由正弦函数的二倍角公式即可求解.【详解】由题意得11sin15 cos15sin3024=，故 A正确.故选：A.6.【答案】B【分析】运用坐标计算向量的模.【详解】由图形可知：()()()()223,1,1,2,2,1,215ababab=+=；故选：B.7.【答案】A【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解.【详解】由题意，长方体1111OABCO ABC中，4OA=，6OC=，12OO=，可得11(4,6,2),(0,6,2)BC，因为点P为11BC的中点，由中点公式可得，点P的坐标为(2,6,2)P.故选：A.8.【答案】C【分析】由空间向量的数量积、模长、夹角公式可判断 ACD；设ab=，代入解方程即可判断 B.【详解】对于 A，()122 00 120a b=+=，故 A错误；对于 B，设ab=，则12200=，则无解，故 B 错误；对于 C，2221205a=+=，()2222015b=+=，所以ab=，故 C 正确；对于 D，221cos5255a bab=，故 D错误.故选：C.9.【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.【详解】()()()1111121132322322MNMAANOAABACOAOBOAOCOAOAOBOC=+=+=+=+211322abc=+.故选：B.10.【答案】C【分析】连接DF，DG，取FG的中点M，连接DM，点D到线段FG的最短距离大于1，即可判断A；建立空间直角坐标系，点D到平面EFG的距离为312EF nn=，即可判断B；由1DB 平面EFG，连接1DB交EG于点O，1Rt OB H与RtODH全等，所以13B HODHO=，即可判断C；平面EFG被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为22，可求截面面积.【详解】连接DF，DG，所以52DFDG=，22FG=，取FG的中点M，连接DM，所以3 214DM=，点D到线段FG的最短距离大于1，所以不存在点H，使得直线DH与直线FG相交，故A不正确；以D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则11,0,2E，1,1,02F，10,1,2G，()0,0,0D，所以11,1,22EF=，()1,1,0EG=，11,0,2DE=，设平面EFG的法向量为 =(,)，所以00EF nEG n=，即110220 xyzxy+=+=，令=1，则1y=，1z=，所以()1,1,1n=，所以点D到平面EFG的距离为33122 3DE nn=，而1DH=，所以不存在点H，使得直线DH 平面EFG，故B不正确；因为()11,1,1DB=，所以1DB 平面EFG，连接1DB交EG于点O，所以O为1DB的中点，132DOBO=，所以1B HO为直线1B H与平面EFG所成角，因为1DH=，在RtODH中，3sin2DODHODH=，所以3DHO=，因为1Rt OB H与RtODH全等，所以13B HODHO=，故C正确；延长GF交1B B的延长线于N，连接EN交AB于P，连接PF，取11DC的中点K，11D A的中点J，连接KG，EJ，KJ，/KGEP，/EJGF，/KJPF，平面EFG被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为22，所以截面面积为1263 362244=，故D不正确.故选：C.第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11.【答案】2【分析】利用空间向量平行的坐标表示计算可得2m=.【详解】根据题意由ab可知存在实数使得ba=，可得()(),2,4,6,3amb=，解得2=，可得2m=；故答案为：2 12.【答案】22【分析】利用两角和的正弦公式化简求值，即得答案.【详解】()2sin13 cos32cos13 sin32sin 1332sin452+=+=，故答案为：22 13.【答案】5【分析】直接由余弦定理计算即可.【详解】由已知得2222cos892 2 23 cos455BCABACAB ACA=+=+=，所以5BC=.故答案为：5.14.【答案】104【分析】以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，求得向量1AB和1C D的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】以 A为坐标原点，在平面 ABC内作垂直于 AC的直线 Ax为 x轴，AC为 y轴，1AA为 z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示：则()10,0,2A，3 1,022B，()10,1,2C，3 1,122D，所以13 1,222AB=，131,122C D=，所以1111115102cos,452AB C DAB C DAB C D=，则直线1AB与1C D所成角的余弦值为104，故答案为：104.15.【答案】()()()1 34【分析】以A为原点，建立空间直角坐标系，假设存在点(,2,0)Q m，根据NQSB，利用向量的数量积的运算公式，列出方程，求得m的值，可判定 A正确；结合向量的夹角公式，列出方程，可得判定 B 不正确；连接,AQ AM AN，设DQm，求得22AMQmS=，棱锥的体积公式，可判定 C 正确；求得平面MNQ的法向量(1,2,3)mmm=，利用向量的夹角公式和二次函数的性质，可判定 D错误.【详解】以A为原点，以,AB AD AS所在的直线分别为,x y z轴，建立空间直角