2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学试卷（三）本试卷共4页，19题全卷满分150分考试用时120分钟注意事项：1答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，再利用复数的模长公式，即可求解.【详解】因为，得到，即，所以，得到，故选：D.2. 的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. 80D. 160【答案】A【解析】【分析】求出二项式展开式通项公式，再由给定幂指数求解即得.【详解】二项式展开式的通项为，由，得，所以的展开式中的系数为.故选：A3. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】转化为“，”为真命题，再利用判别式即可得到答案.【详解】由题意得命题“，”为真命题，则对恒成立，则对恒成立，则，解得.故选：A.4. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得到，再利用向量垂直的坐标表示，得到，即可求解.【详解】因为，得到，又，所以，解得，故选：B.5. 某企业五个部门年第三季度的营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：第一部门第二部门第三部门第四部门第五部门营业收入占比净利润占比若该企业本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（ ）A. 各部门营业收入占比的极差为B. 各部门营业收入占比的第百分位数为C. 第二部门本季度的营业利润为正D. 第三部门本季度的营业利润率大约为【答案】D【解析】【分析】根据表格中的数据计算极差、百分位数、营业利润率，逐项判断即可.【详解】对于A选项，各部门营业收入占比的极差为，A错；对于B选项，各部门营业收入占比由小到大依次为、，且，所以，各部门营业收入占比的第百分位数为，B错；对于C选项，第二部门本季度的营业利润率，故第二部门本季度的营业利润为负，C错；对于D选项，第三部门本季度的营业利润率为，D对.故选：D.6. 已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件得到，从而点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，即可求解.【详解】如图，易知，所以，由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，而焦点在上，长轴长为，焦距为的椭圆的标准方程为，又点轨迹的中心为，所以的轨迹方程为，故选：C.7. 已知四边形的外接圆半径为，若，四边形的周长记为，则当取最大值时，四边形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用余弦定理和基本不等式可确定当且时，取得最大值；根据此时为四边形外接圆直径和解三角形的知识，可求得此时四边形的面积.【详解】在中，（当且仅当时取等号），；，在中，（当且仅当时取等号），；当取得最大值时，且，为弦的垂直平分线，为四边形外接圆的直径，又此时，当取得最大值时，四边形的面积.故选：A.8. 当时，则正数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用同构思想，得到，构造函数，利用的单调性得到在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解.【详解】因为，由，得到，即，令，则，因为，所以在区间上恒成立，即在区间上单调递增，又，所以，可得，即在区间上恒成立，令，则，由，得到，由，得到，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，得到，故选D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成，构造函数，利用的单调性，将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 已知，是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】ACD【解析】【分析】选项A，利用面面平行的性质，即可判断；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C，根据条件，即可判断；选项D，利用面面垂直的性质，得到，即可判断.【详解】对于选项A，因为，由面面平行的性质可知，所以选项A正确，对于选项B，如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，显然满足，但不平行，所以选项B错误，对于选项C，因为，显然有，所以选项C正确，对于选项D，因为，则，又，则，所以选项D正确，故选：ACD.10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的导函数为，则（ ）A. 的图象关于原点对称B. 函数的最小正周期为C. 区间上单调递减D. 在区间内的所有零点之和为【答案】BC【解析】【分析】确定的解析式，借助三角函数性质逐个判断即可.【详解】由已知条件可知：，易知其为偶函数，其图象关于y轴对称，故A错误；由于的最小正周期为，而的图象可由的图象，把轴下方图象翻折上去，轴上方图象不变，故函数的最小正周期为，B正确；，所以，由，可得：，由于余弦函数在上单调递减，在单调递增，由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，C正确；由，令，得到：，分别令可得对应零点为，所以在区间内的所有零点之和为，D错误；故选：BC11. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点的直线与交于两点，与以为圆心，为半径的圆交于两点（点在第一象限内），则（ ）A. B. 的最小值为1C. （为原点）的最大值为D. 的最小值不可能为6【答案】AC【解析】【分析】选项A，将点代入，即可求解；选项B，分斜率存在和不存在两种情况，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求解；选项C，结合选项B中的结论，利用正切函数的倍角公式得到关于的表达式，从而得解；选项D，利用选项B中结果，可得，即可求解.【详解】对于选项A，因为点在上，所以，得到，所以，故选项A正确，对于选项B，易知直线斜率不为，设，当直线的斜率存在时，设直线方程为，由，消得到，由韦达定理得，又，当直线的斜率不存在时，所以，故选项B错误，对于选项C，当直线的斜率不存在时，此时，当直线的斜率存在时，设，则，又，由选项B知，所以，易知，时，时，又的两根为或，可得，所以，所以选项C正确，对于选项D，由选项B知，当直线的斜率存在时，所以，当且仅当，即时取等号，此时斜率存在，所以选项D错误，故选：AC.【点睛】关键点点晴，本题的关键在选项C，设，再分直线斜率存在和不存在两种情况，斜率不存在时，可求得，当斜率存在时，利用选项B中结果，将表示成，再利用，得到，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知数列的前项和为，且，则_【答案】【解析】【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解.【详解】因为，当时，当时，满足，所以，得到，所以，故答案为：.13. 已知，均为锐角，则_【答案】【解析】【分析】首先求出，再利用两角差的余弦公式和二倍角公式即可.【详解】因为，均锐角，则，,因为，则，,，则.故答案为：14. 已知全集，集合是的非空子集，且，定义为中的一对“子群”关系，则满足这种“子群”关系的共有_个【答案】【解析】【分析】利用组合求出符合条件的集合的个数，再求出相应集合的非空真子集个数，利用分步计算原理，即可求解.【详解】因为，集合是的非空子集，若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，若若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，若中有个元素，此时符合条件的集合有个，又中有个元素时，集合的非空真子集个数有个，所以满足条件的共有，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知数列的前n项和为，且（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前n项和【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由条件可得，故可证明数列为等比数列.（2）表示数列的通项公式，利用错位相减法可得结果.【小问1详解】，当时，两式相减得，整理得，即，令得，是以为首项，公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得，.，两式相减得，.16. 如图，在平面五边形中，将沿翻折，使点到达点的位置，得到如图所示的四棱锥，且，为的中点（1）证明：；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）推导出平面，可得出，利用等腰三角形三线合一可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得；（2）推导出，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】翻折前，在平面五边形中，则，翻折后，在四棱锥，且，所以，则，所以，又因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，因为，则四边形为平行四边形，则，所以，因为为的中点，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，故.【小问2详解】因为，且，所以，则，因为平面，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、，设平面的法向量为m=x1,y1,z1，则，取，可得，设平面的法向量为n=x2,y2,z2，则，取，可得，所以，因为，平面与平面夹角的余弦值为.17. 已知函数（1）当时，曲线在点（）处的切线记为求的方程；设的交点构成，试判断的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明（2）讨论的极值【答案】（