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山东省聊城市2024-2025学年高三上学期11月期中教学质量检测数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填(涂)写在答题卡上,将条形码粘贴在“贴条形码区”.2.作选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再改涂其它答案标号.3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.否则,该答题无效.4.考生必须保持答题卡的整洁;书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分;在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.1. 若集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合,即可根据交集定义求解.【详解】由可得,故,故选:C2. 若,则( )A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】B【解析】【分析】先由复数的四则运算求出,再计算,最后求其模长即得.【详解】由,可得,则.故选:B.3. 已知,则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意,分别举出反例即可判断ABD,由指数函数的单调性,即可判断C.【详解】取,满足,但,故A错误;取,满足,但是,故B错误;因为在上单调递减,由可得,故C正确;取,满足,但是,故D错误;故选:C4. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由余弦的和差角公式可得的值,从而可得的值,再由余弦的二倍角公式,代入计算,即可得到结果.【详解】因为,且,则,又,所以.故选:A5. 若向量,则“”是“”( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据共线向量的坐标公式列方程,求出的值,再根据充要条件的判断方法即得.【详解】因,由,可得,解得或.由“”可推出“或”成立,而由“或”推不出“”成立,故“”是“”的充分不必要条件.故选:B.6. 在中,其外接圆的圆心为,则的最小值为( )A. 4B. C. 16D. 【答案】D【解析】【分析】由向量数量积的运算可得,由为外接圆圆心,可得,从而得,利用基本不等式求解即可.【详解】解:因为,所以,所以,因为为外接圆圆心,过作于,则为中点, 所以,同理可得,所以,又因为,所以,所以当且仅当,即时,等号成立.故选:D.7. 设,若为的最小值,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意,先求得时的最小值,再由导数可得时的最小值,再由为的最小值列出不等式,代入计算,即可得到结果.【详解】当时,对称轴为,当时,即,当时,即,不符合题意,所以,当时,则,令,则,当时,fx0,则单调递增,则是函数的极小值点,又为的最小值,则满足,即,解得,又,所以实数的取值范围是0,1.故选:A8. 若函数的定义域为,且,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得(),从而得数列是等差数列,求出其通项公式,从而得,将代入,即可得答案.【详解】由,可得,当时,数列是公差为2的等差数列,首项为,所以,所以,所以.故选:C【点睛】关键点睛:本题关键是得出是等差数列,从而得函数的解析式.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分;在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9. 数列中,记为数列的前项和,为数列的前项积,若,则( )A. B. C. 数列是单调递增数列D. 当取最大值时,或【答案】ABD【解析】【分析】由条件确定为等比数列,再结合通项公式及求和公式逐项判断即可.【详解】由得即首项为,公比为的等比数列,所以,正确;,正确;,故数列是单调递减数列,错误;因为首项为,公比为的等比数列,单调递减,所以当取最大值时,或,正确;故选:ABD10. 若函数,则( )A. B. 当时,函数在区间上单调递增C. 当时,将图象向左平移个单位后得到的图象D. 当函数在上恰有2个零点和2个极值点时,的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】利用三角恒等变换化简,再结合正弦函数性质,来解决问题.【详解】由函数整理得:,所以,故A错误;当时,函数,由,可得:,根据正弦函数在区间单调递增,可知函数在区间上单调递增,故B正确;当时,函数,将图象向左平移个单位后得到:,此时满足题意,故C正确;当时,为了使得函数在上恰有2个零点和2个极值点,只需要满足,解得,故D错误;故选:BC.11. 若点是函数图像上的两点,则( )A. 对任意点,存在无数点,使曲线在点A,B处的切线的倾斜角相等B. 当函数存在极值点时,实数的取值范围为C. 当且在点A,B处的切线都过原点时,D. 当直线AB的斜率恒小于1时,实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】选项A,转化为在点A,B处导数值相同,由方程有无数解可得;选项B,由函数存在极值点,转化为导数存在变号零点,分离参数,即可判断;选项C,由切线斜率的两种求法建立等量关系可得;选项D,转化为函数单调递减,利用导数小于等于恒成立可求.【详解】对于A,因为, 要使,则, 得,所以,即对任意,的值有无数个,故A正确:对于B,令,则,且,则,即,又,则,故B错误;对于C,曲线y=fx在点A,B处的切线都过原点,由,则点均不与原点重合,设曲线在处切线的斜率为,则,由切线过原点,则切线即直线的斜率,所以,化简得,若时,则,这与矛盾,故,所以有,同理可得,所以由,得,故C正确对于D,对于任意点A,B,直线AB的斜率恒小于1,则,即,所以在上是减函数,所以恒成立,设,xR,且,所以要使恒成立,则,即,故D正确;故选:ACD【点睛】关键点点睛:本题C选项的关键是通过切线方程得到,化解得到,同理得到,则有,即可判断C.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】利用,即可求解.【详解】解:小正周期为,故答案为:.13. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定:排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为,现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理,处理后废气中剩余二氧化硫的浓度(单位:)与处理时间(单位:分钟)满足关系式:,那么从现在起至少经过_分钟才能达到排放标准.(参考数据:,结果取整数)【答案】16【解析】【分析】由题意得到不等式,两边取对数,得到,代入,求出答案.【详解】由题意得,即,故,因为,所以,故,所以从现在起至少经过16分钟,才能达到排放标准.故答案为:1614. 设,若,使得对恒成立,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求导,分与分类讨论求得,进而可得,构造函数,求得的范围,可求的取值范围.【详解】由,可得,令,可得,所以,当时,在上单调递减,无最大值,不符合题意,当时,方程解为,当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,所以,因为,使得对恒成立,所以,所以,所以,令,求导可得,当,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,所认所以,所以的取值范围是.故答案为:【点睛】思路点睛:对于恒成立问题,通常是通过分离变量,构造函数,利用函数的最值解决有关问题.四、解答题:本题共5小题,共77分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数在处取得极小值.(1)求m,n的值;(2)若函数有3个不同零点,求实数的取值范围.【答案】(1), (2)【解析】【分析】(1)求导,根据得到方程组,求出,检验为极小值点,得到答案;(2)在(1)基础上,得到的极大值为,极小值为,转化为y=fx与有3个不同的交点,所以.【小问1详解】,解得,故,令得或,令得,所以在上单调递增,在上单调递减,故为极小值点,满足要求;【小问2详解】由(1)知,在上单调递增,在上单调递减,且,故的极大值为,极小值为,又趋向于时,趋向于,当趋向于时,趋向于,综上,要想有3个不同零点,即有3个不同的实数根,即y=fx与有3个不同的交点,所以.16. 记的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.(1)求;(2)若的面积为,求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据正弦定理将边化角,再利用三角恒等变换化简,即可解决;(2)利用三角形的面积公式,得,再利用余弦定理得,最后结合正弦定理即可求解.【小问1详解】因为,所以由正弦定理得,化简得,因为,即,所以,得,因为,所以,又,所以.【小问2详解】由(1)知,又的面积为,所以,即,由余弦定理可得,所以,即由正弦定理得,所以,17. 函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,可以将其推广为:函数图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数,已知函数.(1)证明:函数的图象关于点成中心对称图形;(2)判断函数的单调性,若,求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增,【解析】【分析】(1)根据为奇函数,结合奇函数的定义即可求解,(2)根据函数的单调性和奇偶性,即可根据得求解.【小问1详解】令,定义域为,则,故为奇函数,因此为奇函数,故的图象关于点成中心对称图形,【小问2详解】由于,均为单调递增函数,故为定义域内的单调递增函数,由于,且为单调递增函数,故单调递增,故由可得,即,故,解得18. 数列中,若,使得,都有成立,则称数列为“三合定值数列”,已知.(1)求;(2)设,证明:数列为等比数列,并求;(3)设,求数列的前项和.【答案】(1),. (2)证明见解析, (3)【解析】【分析】(1)由,代入计算,即可得到结果;(2)由条件可得,即可证明,结合的通项公式,分别讨论为奇数以及为偶数的情况,即可得到结果;(3)根据题意,由条件可得,结合错位相减法代入计算,即可得到结果.【小问1详解】因为,所以,且,则,即,解得,又,即,解得,又,即,解得,所以,.【小问2详解】因为,则, 且,即,所以,即,又,则,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以,即,所以,则,两式相减可得,即的奇数项为等差数列,且,令,则,所以(为奇数),又,由可得,
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