江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测数学试卷注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请将答案填写在答题卡相应的位置上）1已知全集，集合，则（ ）ABCD2已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则（ ）A0BC2D53给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）A是的充分不必要条件B是的必要不充分条件C是函数为奇函数的充要条件D是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件4为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为13，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）ABCD5函数的图象大致为（ ）ABCD6已知一个等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为P，Q，R，则下列等式正确的是（ ）ABCD7在平面直角坐标系xOy中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是（ ）ABCD8设，这三个数的大小关系为（ ）ABCD二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分请将答案填写在答题卡相应的位置上）9若，且，则下列结论正确的是（ ）ABCD10已知一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，OAB的面积为S，时间t（单位：时），全科免费下载公众号高中僧课堂则以下说法中正确的选项是（ ）A时针OA旋转的角速度为B分针OB旋转的角速度为C一小时内（即时），为锐角的时长是D一昼夜内（即时），S取得最大值为44次11甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A事件B与事件相互独立BCD12已知P为抛物线上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，则（ ）A的最小值为5B若线段AB的中点为M则NAB的面积为C若，则直线的斜率为2D过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，满足直线GH的斜率为，则EF平分三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填写在答题卡相应的位置上）13在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_14的展开式中x的升幂排列的第3项为_15已知函数，曲线在点处的切线与y轴相交于点，则函数的极小值为_16（第一空2分，第二空3分）已知向量，向量与向量的夹角为，则向量_；若向量与向量的夹角为，向量，其中，当时，实数a的取值范围为_四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案填写在答题卡相应的位置上）17（本题满分10分）已知在ABC中，AD是BAC的平分线，且交BC于D（1）用正弦定理证明：；（2）若，求BD18（本题满分12分）已知等差数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和19（本题满分12分）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为某学校共有2000名学生为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；（2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值参考数值：，20（本题满分12分）如图，在四棱锥中，平面PAD，点M满足（1）若，求证：平面平面PCM；（2）设平面MPC与平面PCD的夹角为，若，求的值21（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线上的点到原点O的最短距离为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为（1）求椭圆的标准方程：（2）设AB是过椭圆中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点（与O不重合），若M是l与椭圆的交点，求AMB的面积的取值范围22（本题满分12分）已知函数（1）若有两个零点，求a的取值范围；（2）若方程有两个实数根，且，证明：江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷参考答案一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请将答案填写在答题卡相应的位置上）1【答案】A【解析】，选A2【答案】D【解析】为纯虚数，选D3【答案】C【解析】“”是“”的充要条件，A错“”是“”的既不充分又不必要条件，B错时，是奇函数，充分，为奇函数，则，则为充要条件，故答案选C4【答案】B【解析】设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，正六棱柱的侧面积，正六棱锥的母线长，又正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，则，选B5【答案】C【解析】，为奇函数关于原点对称，排除B时，排除D，排除A，选C6【答案】D【解析】，成等比数列，选D7【答案】B【解析】，则，圆心，都在，则两圆内切或内含，故选B8【答案】C【解析】，且时，（泰勒展开式求导易证），选C二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分请将答案填写在答题卡相应的位置上）9【答案】AB【解析】，则，A对，C错，则，B对，D错，选AB10【答案】ACD【解析】OA旋转的角速度为，A对OB旋转的角速度为，B错或，则或，C对的周期为且每个周期仅岀现一次最大值故最大值取得的次数为，D对，选ACD11【答案】BD【解析】，先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，B对，C错，A错，D对12【答案】ACD【解析】在抛物线上，抛物线：，对于A，过点P作抛物线的准线的垂线FD，垂足为D，由抛物线定义可知，连接DM，则M，P，D三点共线时，取最小值，A对对于B，为AB中点，则，在直线l上，N到直经l的距离，则，B错对于C，设代入得，令，C对对于D，在抛物线上且轴，设，易知EG，EH斜率存在，则，则EF平分，D对三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填写在答题卡相应的位置上）13【答案】【解析】由题意，双曲线：14【答案】【解析】展开式第项展开式第项，15【答案】【解析】切点，切线：过，或3，在，16【答案】；【解析】设，或，或，与夹角的，则，四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案填写在答题卡相应的位置上）17【解析】（1）在和中，分别由正弦定理，由AD平分，（2），AD平分，由（1）知，18【解析】（1）设公差为d，（2），19【解析】（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，X的分布列如下：X1234P（2）符合该项指标的学生人数为：人每个学生通过投的概率对，最终通过学校选拔人数，20【解析】（1）证明：，而，平面PAD，平面ABCD，平面平面PAD且平面平面，由平面PAD，平面ABCD，且，又，平面PCM又平面，平面平面，或由，且平面，所以平面平面；（2）如图建系，设平面MPC与平面PCD的一个法向量分别为，21【解析】（1）曲线围成的图形如图，即且，解得，椭圆的标准方程为（2）方法一：若AB斜率为0，则；若AB斜率不存在，则；若AB斜率存在且不为0，设AB方程为，令，一方面，另一方面综上：面积的取值范围为方法二：设，不妨设，由A，M在椭圆上，而，且由解得综上：面积的取值范围为22【解析】（1）当时，在R上，不可能有两个零点；当时，令且在上；上，要使有两个零点，首先必有当时，注意到，在和上各有一个零点，符合条件综上：实数a的取值范围为（2）由有两个实根，令，有两个实根，要证：只需证：由，结合知证：，即证：而，证毕！