兰州市五十中 2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则真子集的个数（ ）A8B7C4D62设i是虚数单位，若复数z12i，则复数z的模为（ ）A1BCD3下列命题中是假命题的是（ ）A，B，C，D，4已知为第二象限角，则的值是（ ）A1B1C3D35总体由编号为01，02，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ）附：第6行至第9行的随机数表2 7486 1987 1644 1487 0862 8888 5191 6207 4770 1111 6302 4042 9797 9919 6835 1253 2114 9197 3064 9167 6778 7339 9746 7322 6357 9003 3709 1601 6203 8827 7574 950A3B19C38D205已知非零单位向量，满足，则与的夹角为（ ）ABCD7若存在xR，使，则实数a的取值范围是（ ）A（，1）B（，1C（1，1）D（1，18已知数列满足，且对任意的nN*都有，则的前100项和为（ ）ABCD9一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为（ ）A12B8C6D410已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（ ）ABCD11李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（ ）A16种B18种C20种D24种12已知函数，若函数f（x）在1，e上的最小值为，则a的值为（ ）ABCD第II卷（非选择题）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13如图为计算y|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填 14已知x0，y0，若恒成立，则实数m的取值范围是 15已知直线，则过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为 16对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：；根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是73，则m的值为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在四边形ABCD中，ADBDCD1（1）若，求BC；（2）若AB2BC，求cosBDC18（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，ABAD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF平面ABCDBC3AB3AD，M为线段BD的中点（1）求证：BD平面AFM；（2）求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值19（12分）清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷如下表：题ABC答卷数180300120（1）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出的多少份？（2）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（1）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）20（12分）已知椭圆的离心率为，直线l：xty1交E于A，B两点；当t0时，（1）求E的方程；（2）设A在直线x3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标21（12分）设函数，其中aR（1）若曲线yf（x）在点（2，f（2）处切线的倾斜角为，求a的值；（2）已知导函数f（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x（1，e）时，（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C：，直线l：（t为参数）（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求的最大值与最小值选修4-5：不等式23（10分）已知a，b，cR，且满足a2b3c6，求的最小值参考答案及解析1B 解析由题，则，得，即，则真子集的个数为2D 解析依题意，故选D3C 解析因为，cos01，所以A、B均为真命题，C为假命题，选项D为真命题4B 解析为第二象限角，选B5B 解析按题中方法选出的6个个体编号分别为41，48，28，19，16，20，故选B6D 解析解法一：设与的夹角为因为，所以，即，所以因为，为非零单位向量，所以，即因为，所以，因为，所以解法二：几何法，如图，与分别表示以，为邻边（共起点）的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出知所求为解法三：坐标法，由得，又，为单位向量，则在平面直角坐标系中取，则，由向量夹角的坐标运算知与的夹角为7A 解析 “存在xR，使”的否定为“对任意xR，都有”，下面先求对任意xR，都有恒成立时a的范围当a0时，该不等式可化为2x0，即x0，显然不合题意；当a0时，有解得a1综合得a的范围为1，），所以存在xR，使的a的取值范围为（，1）8D 解析，的前100项和为故选D9D 解析由三视图可知几何体为三棱锥，如图，故其体积故选D10A 解析设椭圆的右焦点，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由PFQ120，可得，所以，则，由余弦定理可得，即，椭圆的离心率，故选A11C 解析解法一：记国庆7天分别为1、2、3、4、5、6、7，当甲1、2或6、7时，乙有4种方案；当甲2、3或3、4或4、5或5、6时，乙有3种方案，故共有424320种方案解法二：（间接法）甲、乙二日游共有6636种方案，其中两天同在泉州有6种，只有一天两人同在泉州有2510种，故其出游的不同方案共有3661020种12A 解析，若a0，则，在1，e上递增，则，矛盾若，则由得若，即，则，解得，符合题意，故选A事实上，若，即，在1，e上递减，解得，矛盾；若，即，f（x）在1，e上递增，解得，矛盾13 解析由知，判断框内应填？14 解析x0，y0，（当且仅当y2x时取等号） 的最小值为8，由题意可知，解得4m2，即m的取值范围是（4，2） 15 解析圆心为（1,2），故的方程为，即16 解析 根据；，从起，的分解规律恰为数列3，5，7，9中若干连续项之和，为前两项和，为接下来三项和，故的首个数为因为（mN*）的分解中最小的数是73，所以，解得m917解析（1）在ABD中，BDCABD 在BCD中，（2）设BCx，则AB2x，在BCD中，解得18解析（1）因为四边形ADEF为正方形，所以AFAD又因为平面ADEF平面ABCD，且平面平面ABCDAD，所以AF平面ABCD所以AFBD因为ABAD，M线段BD的中点，所以BDAM又AMAFA，所以BD平面AFM（2）由（1）知AF平面ABCD，所以AFAB，AFAD，又ABAD，所以AB，AD，AF两两垂直分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz（如图）设AB1，则A，B，C，D，E，所以，设平面ACE的一个法向量为，则即令y1，则x3，z1，则由（1）知，为平面AFM的一个法向量设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为，则所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为19解析（1）由题意可得：A，B，C答卷数的比为180300120，即为352，故应分别从B，C题的答卷中抽出5份，2份（2）由题意可知，A题答案得优的概率为，显然被抽出的A题的答案中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3，且，；随机变量X的分布列为：X0123P所以另解：，20解析（1）由题意得，整理得，由t0时，得，因此，b1故E的方程是（2）设，则，将xty1代入得，从而直线BD：，设直线BD与x轴的交点为，则，所以，将式代入上式可得，故直线BD过定点（2,0）21解析（1），由题意可知，得a2（2），设，令h（x）0，得x1或，在（1，e）上存在零点，即2a2e由此可知x0f（x）减极小值增当x（1，e）时，设，则，g（a）在（2，2e）上单调递减，当x（1，e）时，22解（1）曲线C的参数方程为（为参数）直线l的普通方程为2xy60（2）曲线C上任意一点到l的距离为则，其中为锐角，且当时，|PA|取得最大值，最大值为当时，|PA|取得最小值，最小值为23解由柯西不等式，得得所以当且仅当，即abc1时，上式等号成立所以的最小值为6学科网（北京）股份有限公司