重 庆 缙 云 教 育 联 盟2023年高考第一次诊断性检测数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，集合，则（）ABCD2已知复数满足，则的虚部为（）ABCD3正方形的边长为1，则（）A1B3CD4函数的零点所在的区间是（）ABCD5双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点，双曲线与抛物线在第一象限交于点，若，则双曲线的方程为（）ABCD6设，且，则（）ABCD7英国数学家布鲁克泰勒，以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，其中，（此处介于和之间）.若取，则，其中，（此处介于0和之间）称作拉格朗日余项.此时称该式为函数在处的阶泰勒公式，也称作的阶麦克劳林公式.于是，我们可得（此处介于0和1之间）.若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余项，当不超过时，正整数的最小值是（）ABCD8设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，当变化时，方程的所有根从小到大记为，则取值的集合为（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9函数，且，则（）A的值域为B不等式的解集为CD10为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据进行分析，其中表示减重质量（单位：千克），表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升），由此得到的线性回归方程为.下列说法正确的是（）A的值一定为0B越大，减重对降低油耗的作用越大C残差的平方和越小，回归效果越好D至少有一个数据点在回归直线上11已知1，2为等差数列，记，则（）A为常数B为常数C随着n的增大而增大D随着n的增大而增大12在三棱锥中，已知底面ABC，分别是线段上的动点.则下列说法正确的是（）A当时，B当时，一定为直角三角形C当时，平面平面D当平面AEF时，平面与平面不可能垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数的图象在点处的切线方程是_14若，则_152023年重庆市某旅行社拟推出主题为“新时代，新征程，新重庆”的主题旅游路线，这些旅游线路中包含红岩革命纪念馆、渣滓洞、白公馆、大轰炸惨案遗址、周公馆等5个传统红色旅游景区，还有洪崖洞、李子坝、解放碑、大足石刻、磁器口、天坑地缝、巫山小三峡等7个展现重庆人文山水奇妙魔幻景色的景区.为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有_种.16平面直角坐标系中，点、，动点在的内切圆上，则的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径为，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字设，五个正方形的面积和为(1)求面积关于的函数表达式；(2)求面积最小值18如图，在棱长为2的正方体中，线段DB的中点为F，点G在棱CD上，且满足.(1)若E为棱的中点，求证：；(2)求直线与所成角的余弦值.19截至年末，某城市普通汽车（除新能源汽车外）保有量为万辆.若此后该市每年新增普通汽车万辆，而报废旧车转购新能源汽车的约为上年末普通汽车保有量的，其它情况视为不计.(1)设从年起该市每年末普通汽车的保有量构成数列，试写出与的一个递推公式，并求年末该市普通汽车的保有量（精确到整数）；(2)根据（1）中与的递推公式，证明数列是等比数列，并求从哪一年起，该市普通汽车的保有量首次少于万辆？（参考数据：，）20小明将四件物品摆放在一起，然后让小狗不放回地去依次取这四件物品，若当次小狗取的物品和小明给的指令一致，则给小狗记1分，若不一致则记0分如小狗取得物品的顺序为，则小狗得2分显然小狗最低得0分，最高得4分假设小狗是随机地取物品，设它的得分为X(1)求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若小明对小狗进行了辨别物品的训练之后，再让小狗取物品，当小狗连续两次得分都大于2分时，小明认为自已的训练是卓有成效的请从概率学的角度解释小明这么认为是否合理21若椭圆C的对称轴为坐标轴，长轴长是短轴长的2倍，一个焦点是，直线l：，P是l上的一点，射线OP交椭圆C于点R，其中O为坐标原点，又点Q在射线OP上，且满足(1)求椭圆C的标准方程；(2)当P点在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程22已知函数.(1)若是函数的极值点，证明：；(2)证明：对于，存在的极值点，满足.数学试卷 第 6 页 共 15 页学科网（北京）股份有限公司重 庆 缙 云 教 育 联 盟2023年高考第一次诊断性检测数学参考答案及评分标准1-8CBDCDDCC【7题解析】由条件有，即，因为，所以的最小值为.故选：C.【8题解析】为奇函数，图像关于点对称，由得：，则方程的根即为与直线的交点，作出图像如图所示，当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，与均关于对称，；当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，与均关于对称，；当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，与均关于对称，；当时，如图中所示时，与直线有个交点，与均关于对称，；当，即时，如图中和所示时，与直线有且仅有一个交点，.综上所述：取值的集合为.故选：C.9.CD10.BC11.ACD12.ACD【11题解析】由于1，2为等差数列，所以，对于A，所以A正确，对于C，随着n的增大而增大，故正确，对于B, 1，2,公差为,所以，因此，不为常数，故B错误，对于D,所以，令，则在恒成立，所以，即，(）,因此，所以,进而 ，所以，故随着n的增大而增大，D正确，故选：ACD【12题解析】对A选项，底面，且平面，,， ，且平面，平面,平面，且平面，平面，平面，故A正确，对B选项，当时,无法得出一定为直角三角形，例如点取点不是直角三角形，若，则，又，平面，则平面，平面，则，而，平面，则平面，平面，则，显然不成立，故此时，若，则，平面,平面，平面，显然不成立，故此时，若，则，而，平面，所以平面，平面，显然不成立，故，故B错误，对C选项，由A选项证得平面，平面，平面，平面平面，故C正确，对D选项，在平面内，过点作的垂线，垂足为，假设平面平面，平面平面，且平面，平面，而若此时平面，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当平面时,平面与平面不可能垂直，故D正确，故选：ACD.13141518516. 【15题解析】由题得从上述12个景区中选3个景区，共有个结果，由题得从上述12个景区中选3个景区，全部不是传统红色旅游景区的选法有，所以至少含有1个传统红色旅游景区的选法有220-35=185种.故答案为：185【16题解析】由两点间的距离公式可知，则是边长为的等边三角形，设的内切圆的半径为，则，解得，因为点、关于轴对称，所以，的内切圆圆心在轴上，易知直线的方程为，原点到直线的距离为，所以，的内切圆为圆，设点，其中点，所以，当且仅当点为射线与圆的交点时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.17(1)解：由图可知，小正方形的边长为，且，大正方形的边长为，所以，3分因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，可得，设且满足，所以，锐角满足.5分(2)解：，锐角满足，因为，则，且，则，因为，且，所以，所以，此时，则，因此，面积的最小值为10分18（1）如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，2分则，.因为，所以.所以，故.4分（2）由（1）中的坐标系及题意可知，.5分因为，.所以，8分又，所以，故直线与所成角的余弦值为.12分19（1），故，所以年末该市普通汽车的保有量（万辆）.4分（2）得，而，故是首项为，公比为的等比数列，6分所以，即，8分解得，求得，11分即从年末开始，该市普通汽车的保有量首次少于万辆.12分20（1）X可能的取值为0，1，2，4（显然，若小狗取对了三件物品，则第四件物品也一定是取对的，故X不可能为3）1分，4分故分布列为：X0124P6分8分（2）小狗连续两次得分都大于2分，即小狗每一次都得四分若小狗取物品都是随机的，那么连续两次得4分的概率仅为，这个概率非常小，所以小明认为小狗取物品应该不是随机的，是他对小狗的训练起了作用，这个认为是合理的12分21（1）解：设椭圆的标准方程为，由题意可得，解得，4分所以椭圆的标准方程为；5分（2）解：设点P，O，R的坐标分别为，由题设知，由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组，解得，7分由点O、Q、P共线，得，即，8分因为，所以，则，10