20242025学年度高二第一学期期中考试数学试题（B）注意事项：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置3考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1. 在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ）A. 2B. 3C. D. 5【答案】D【解析】【分析】利用两点之间的距离公式计算即得.【详解】点和点之间的距离为.故选：D.2. 经过两点的直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,所以倾斜角为.故选：A.3. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得.【详解】由题意，直线的斜率为2，故与之垂直的直线的斜率为，又所求直线过点2,1，故其直线方程为，即.故选：C.4. 下列关于圆锥曲线的描述中，正确的是（ ）A. 椭圆的离心率大于1B. 抛物线的准线一定与轴垂直C. 双曲线的离心率小于1D. 椭圆的焦点总在其内部【答案】D【解析】【分析】根据圆锥曲线的性质一一判断即可.【详解】椭圆的离心率的取值范围为，双曲线的离心率的取值范围为，故A、C错误；抛物线的准线垂直于轴，故B错误；椭圆的焦点总在其内部，故D正确.故选：D5. “”是“方程表示椭圆”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的标准方程的要求得到不等式组，求得的范围，再利用充要条件的判定方法即得.【详解】由方程表示椭圆，可得，解得且，显然且是的真子集，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：A.6. 椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，写出，求得值即得.【详解】由，可知椭圆的焦点在轴上，且，则，故椭圆焦点的坐标为.故选：D.7. 已知椭圆和双曲线的左、右顶点为，过作斜率为的直线交于另一点，交于另一点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别将直线的方程与椭圆、双曲线方程联立，求得点的坐标，利用推得点是的中点，建立关于的方程，解之即得.【详解】 如图，点,直线的方程为，将其代入椭圆方程，整理得：,依题意，,即得,再将代入双曲线方程，整理得：，依题意，,即得，由，可知是的中点，则，即，解得.故选：B.8. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，点为与在第一象限的公共点，且，若，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出椭圆的方程，再由椭圆的定义及余弦定理求出，即可求出双曲线的方程.【详解】因为椭圆的焦点，且离心率，所以椭圆的方程为，又，由余弦定理，即，又，所以，所以，又，所以，又双曲线的焦点为，所以双曲线的方程为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 已知直线和直线平行，则（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】BC【解析】【分析】利用两直线平行的判断方法，列出方程和不等式，求出的值并检验即得.【详解】因，故得且，可推得，解得或,经检验均符合题意.故选：BC.10. 关于双曲线，下列说法正确的是（ ）A. 的渐近线方程为B. 的离心率为C. 的焦点坐标为D. 的实轴长是虚轴长的4倍【答案】AB【解析】【分析】根据双曲线方程求出、，再根据双曲线的几何意义一一判断即可.【详解】双曲线，则，所以渐近线为，故A正确；离心率为，故B正确；焦点坐标为，故C错误；实轴长为，虚轴长为，所以实轴长是虚轴长的倍，故D错误.故选：AB11. 已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，两点，且，则（ ）A. 椭圆的焦点在轴上B. 的周长为6C. 的周长为6D. 椭圆的方程为【答案】ACD【解析】【分析】依题意知，设代入方程可得求得，根据和a,b,c的关系可得值，即可得椭圆的方程以及的周长和的周长【详解】椭圆的焦点在y轴上，A正确；设椭圆C的方程为，因为过且垂直于轴的直线与椭圆交于A，B两点，设，代入方程可得，求得由于，所以，所以椭圆的方程为，D选项正确；的周长为，B选项错误；的周长为，C选项正确故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 抛物线的准线方程为_【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程判断焦点位置，求得的值，即得准线方程.【详解】由可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，即，故抛物线的准线方程为.故答案为：.13. 焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为_【答案】【解析】【分析】结合题意，求出，利用双曲线焦点位置，即可写出其标准方程.【详解】依题意，解得故该双曲线方程为：.故答案为：.14. 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，“果圆”与轴的交点分别为、，若在“果圆”轴右侧半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为_【答案】【解析】【分析】分别求出两个半椭圆的离心率，即可得解.【详解】因为轴右侧半椭圆方程为，则所对应的离心率为；轴左侧半椭圆方程为，则所对应的椭圆的离心率为，所以两个半椭圆离心率的乘积为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知圆是以点和点2,0为直径端点圆，圆是以点和点0,2为直径端点的圆（1）求圆，的方程；（2）已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦AB的长.【答案】（1）：，： （2），【解析】【分析】（1）求出圆心及半径即可得圆的方程；（2）联立两圆方程，即可求出两圆交点坐标，即可得直线的方程及公共弦AB的长.【小问1详解】的圆心为1,0，半径，故：，的圆心为0,1，半径，故：；【小问2详解】联立，解得或，则，则，. 16. 已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且（1）求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求所在的直线方程【答案】（1）抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）或【解析】【分析】（1）根据给定条件求出p值即可求解；（2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.小问1详解】因点抛物线方程上，则，所以，所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；【小问2详解】显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，由消去x得：，设，则有，因为，则，解得，即直线AB：，所以所在的直线方程：或.17. 已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：.（1）求圆M的一般方程；（2）求圆M与圆O的公切线方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.（2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可.【小问1详解】由题意设圆心为，得，故圆心，圆M的标准方程为：，圆M的一般方程为：.【小问2详解】由于圆M和圆O的半径均为2，公切线与OM平行，则，设公切线方程为，则，得或，故公切线方程为或.18. 已知双曲线的离心率为，点为上一点（1）求的标准方程；（2）若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可得解；（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出的中点的坐标，再根据两直线垂直斜率之积为计算可得.【小问1详解】依题意可得，解得，所以双曲线的标准方程为；【小问2详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，由，得，显然，即，且，则，的中点，又的中垂线过点，且，整理得，即为定值.19. 已知椭圆的离心率为，其上顶点与两焦点连线围成的三角形面积为（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示；（3）在（2）的条件下，为椭圆左顶点，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上【答案】（1） （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率及长轴顶点列方程组得出,即可得出椭圆方程；（2）联立方程组，得出韦达定理再把代入求解；（3）设点直曲联立，利用整体法求出中点坐标与的关系，进而得出结论；【小问1详解】依题意可得，所以,所以椭圆C的方程为.【小问2详解】依题意过点且斜率为的直线为：,即,联立方程组,所以,因为Px1,y1，Qx2,y2，所以,所以，则.【小问3详解】设直线为,过点P作垂直于x轴的直线与直线AQ相交于点M，所以,又因为Px1,y1， 的中点，于是,所以，即则有，又因为，所以，于是，即，即，即，即点在直线上，即线段的中点在定直线上【点睛】关键点点睛：解题的关键点是整体思想在圆锥曲线的定直线和定点问题中的应用.