高二联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号考场号座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一二章.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在正方体中，下列向量与平行的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据正方体的性质可解.【详解】如图，在正方体中，.故选：A.2. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程可得斜率，再由斜率的定义计算倾斜角即可.【详解】由得，所以直线的斜率，即，又，所以倾斜角.故选：C.3. 已知点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量夹角的公式计算即可；【详解】由题意可得.故选：A.4. 下列命题正确的是（ ）A. 一条直线方向向量是唯一的B. 若直线的方向向量与平面的法向量平行，则C. 若平面的法向量与平面的法向量平行，则D. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则【答案】B【解析】【分析】平面法向量的概念及辨析、利用法向量判断线面、面面位置关系即可.【详解】对于A:一条直线的方向向量不唯一，A错误；对于B:若直线的方向向量与平面的法向量平行，则，B正确.对于C:若平面的法向量与平面的法向量平行，则，C错误.对于D:若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或，D错误.故选：B.5. 直线在轴轴上的截距之和的最小值为（ ）A. B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】先化为截距式，得到截距，借助基本不等式计算即可.【详解】可化为，则直线在轴轴上的截距之和为，当且仅当时，等号成立，所以截距之和的最小值为.故选：A.6. 在正四面体中，为棱的中点，则（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】B【解析】【分析】根据图形，由向量的加法和向量的数量积计算即可；【详解】 因为为棱的中点，所以，所以.故选：B.7. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别设出两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点的坐标可得结果.【详解】设，则，即，.因为点A在圆上运动，所以满足.把代入，得，即.故线段OA的中点P的轨迹方程为.故选：D8. 已知点在直线上，则的最小值为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】由点关于直线的对称点方法求出，再有三点共线求出最小值即可；【详解】如图，设关于直线对称的点为，则解得，则，所以.故选：D. 二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知直线，则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 不存在实数，使得D. 与直线之间的距离为【答案】BCD【解析】【分析】对于AB：根据垂直列式求解即可；对于C：根据平行列式求解，并代入检验；对于D：根据平行线间距离公式运算求解即可.【详解】对于选项AB：若，则，即，故A错误，B正确；对于选项C：若，则，即，此时，即与重合，故C正确；对于选项D：与直线之间的距离为，故D正确.故选：BCD.10. 已知几何体为长方体，则（ ）A. 在方向上的投影向量为B. 在方向上的投影向量为C. 在方向上的投影向量为D. 在方向上投影向量为【答案】AC【解析】【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可.【详解】如图：在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确；因为在中，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误；因为，所以在方向上的投影向量为，即C正确；虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误.故选：AC11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ）A. 若圆与圆外切，则或B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为C. 若圆与圆关于点对称，则D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据两圆外切得圆心距等于半径之和，即可列式求解；对于B，两圆方程相减即可得公共弦所在直线的方程；对于C，由两圆关于点对称得两圆心关于点对称，根据中点坐标公式，即可求解；对于D，根据过两圆交点的圆系方程即可判断.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径若圆与圆外切，则，解得或，A正确当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确若圆与圆关于点对称，则解得，C错误当时，圆：，圆：，则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确故选：ABD.三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12. 已知直线经过定点，则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】提出参数，消去参数即可.【详解】由，得，令,得到,x=0,则点的坐标为.故答案为：.13. 曲线的长度为_，若直线与曲线有公共点，则的取值范围是_.【答案】 . ； . .【解析】【分析】将曲线方程进行等价转化，其为半圆，求半圆周长即可；数形结合求得直线与曲线有公共点的临界态对应的参数值，即可求得的范围.【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分，半径为，故曲线长度为；根据题意，作图如下： 因为圆的圆心到直线的距离，所以，数形结合可知，当直线经过点时，故当时，直线与曲线有公共点.故答案为：；.14. 如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，则该四棱台的体积_，直线与平面所成角的正弦值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】（1）运用台体体积公式计算即可；（2）借助空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可.【详解】（1）运用台体体积公式计算，.（2）建立如图空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为n=x,y,z，则取，则，故直线与平面所成角的正弦值为.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. 已知的三个顶点的坐标分别为，.（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；（2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果.【小问1详解】由，可知，故所求直线的方程为，即.【小问2详解】易知，则所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即.16. 已知直线，圆.（1）若，判断直线与圆的位置关系；（2）若，直线与圆交于两点，求.【答案】（1）相离 （2）【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离与半径比较即可；（2）先求圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长即可；【小问1详解】圆的标准方程为，圆心为，半径.设圆心到直线的距离为，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.【小问2详解】设圆心到直线的距离为，由（1）知圆心到直线的距离，所以.17. 在三棱锥中，平面平面，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点.（1）证明：平面（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，可证，建立空间直角坐标系，利用向量法可证平面.（2）求得平面平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值.【小问1详解】连接，因为，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，进而.因为，所以.以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O0,0,0，所以，.因为，所以，则，又，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）得，.设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为.易得平面的一个法向量为.设二面角的大小为，则，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.18. 如图，平面分别为线段的中点，为线段上的点，且直线与平面所成角的正弦值为. （1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由线面位置关系的向量表示即可求证；（2）由点到面距离的向量法即可求解.【小问1详解】因为平面平面，所以.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示. ，.设平面的法向量为，则令，得，得.因为，所以，故平面.【小问2详解】连接.因为，都在平面内，所以平面，又在平面内，则，又，所以.因为是的中点，所以，都在平面内，所以平面，则为平面的一个法向量.设，则.根据题意可得解得或（舍去），则.因为平面的一个法向量为，所以点到平面的距离.19. 已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称.（1）圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，证明：为定值.（2）过点Q作轴，垂足为E，点D满足.直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，求r；证明：直线QG与圆C相切.【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析【解析】【分析】（1）利用两点式斜率公式表示出，即可证明.（2）利用三角形中位线性质求得，然后利用直角三角形性质求得半径r；先求得点，然后求出直线QG的方程，利用原点O到直线QG的距离等于半径证明即可.【小问1详解】设，.，.记坐标原点为O，直线OQ的斜率为，.综上，为定值，定值为.【小问2详解】在中，AD为斜边，OF为斜边上的中线，所以.又因为，所以，.因为，所以，解得.因为点在圆C上，所以.直线AE的斜率为，直线AD的斜率为，直线AD的方程为.令，得，则，.直线QG的方程为，即，原点O到直线QG的距离，所以直线QG与圆C相切.