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华大新高考联盟2025届高三11月教学质量测评数学试卷本试题卷共4页,共19题。满分150分,考试用时120分钟注意事项:1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置,认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2.选择题的作答:选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4.考试结束,监考人员将答题卷收回,考生自己保管好试题卷,评讲时带来。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则的真子集个数为( )A.1B.3C.7D.152.已知(其中为虚数单位)是关于的方程的一个根,则在复平面内,所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量,若,则( )A.2B.3C.D.4.小明新买的储蓄罐有5位密码,他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码,且密码的第3位是偶数,已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”,则可以设置的不同密码个数为( )A.144B.120C.84D.1165.已知抛物线:的焦点到准线的距离为2,第一象限的点在抛物线上,过点作的垂线,垂足为点,若,且点在直线上,则直线的倾斜角为( )A.B.C.D.6.已知在锐角中,角,所对的边分别为,若,则的取值可能为( )A.B.1C.3D.57.若函数,则的解集为( )A.B.C.D.8.已知正方体的表面积与体积之比为6,若,则四面体的体积的最大值为( )A.B.C.D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分.部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.下列四棱锥的所有棱长都相等,是四棱锥的顶点或所在棱的中点,则直线不与平面垂直的是( )A.B.C.D.10.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为,若,则( )A.的最小正周期为B.C.将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象,则在上的值域为D.若函数,则在上有6个零点11.已知椭圆:的左、右焦点分别为,直线:与椭圆交于,两点,则( )A.若,则B.若过右焦点,且,则椭圆的离心率为C.若过右焦点.且,则椭圆的离心率为D.若,且椭圆上存在一点,使得,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分、共15分。12.定义:已知平面向量,表示夹角为的两个单位向量,为平面上的一个定点,为平面上任意一点,当时,定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为,则_.13.将一组嵌套模型一一拆分之后所得的图形如下所示,若图中每个小正方体的外接球的表面积为,则以此类推,第10个图形的体积为_.14.某站台经过统计发现,一号列车准点到站的概率为,二号列车准点到站的概率为,一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为,记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件,“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件,则_.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知双曲线:的左、右焦点分别为,且,在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)已知不与轴垂直且过的直线与双曲线交于,两点,若,且,求证:.16.(15分)某公司有意在小明、小红、小强、小真这4人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制,其中小明和小红通过初试的概率均为,小强和小真通过初试的概率均为,小明和小红通过复试的概率均为,小强和小真通过复试的概率均为,通过初试考核记6分,通过复试考核记4分,本次面试满分为10分,且初试未通过者不能参加复试.(1)若从这4人中随机选取2人参加面试,求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率;(2)若小明和小红两人一起参加本次公司的面试,记他们本次面试的得分之和为,求的分布列以及数学期望.17.(15分)已知圆柱如图所示,其中正方形为轴截面,点,为圆上异于,且同侧的点,且,点为线段的中点.(1)求证:平面平面;(2)若平面与平面夹角的正切值为,求的值.18.(17分)已知函数,的导函数为,且.(1)讨论的单调性;(2)若为的极大值点,求实数的取值范围;(3)若为锐角,比较和的大小关系,并说明理由.19.(17分)已知有序数组,分别为:,:,:,若它们之间满足:;则称为的双覆盖数组.为的单覆盖数组.(1)有序数组,分别为:8,5,4,:,2,若为的双覆盖数组,求,的值.(2)已知为的单覆盖数组,其中又可记为.(i)判断满足条件的的个数为奇数个还是偶数个,并给出说明过程.(ii)判断是否能成为的单覆盖数组.若是,写出所有满足条件的双覆盖数组;若不是,说明理由.机密启用前(新高考卷)华大新高考联盟2025届高三11月教学质量测评数学参考答案和评分标准题号1234567891011答案BADBCBACBCDACDACD一、选择题1.【答案】B【命题立意】本题考查集合的运算、集合间的关系、不等式的解法,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】依题意,故,则有3个真子集,故选B.2.【答案】A【命题立意】本题考查复数的运算、复数的几何意义,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】方法一 依题意,故解得则在复平面内对应的点为,位于第一象限,故选A.方法二 易知方程的解为,则,即解得则在复平面内对应的点为,位于第一象限,故选A.3.【答案】D【命题立意】本题考查平面向量的基本概念、平面向量的坐标运算、平面向量的数量积及其应用,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】依题意,故,解得,故,故选D.4.【答案】B【命题立意】本题考查排列组合,考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】若选的数字只有一个1,此时有两个偶数,则不同的排列方法有种;若选的数字有两个1,则不同的排列方法有种.故共有种不同的设置方法,故选B.5.【答案】C【命题立意】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】依题意,得,设,则,而,且,故,则,解得,故直线的倾斜角为,故选C.6.【答案】B【命题立意】本题考查余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】依题意,得,故,则,因为为锐角,所以.依题意,而故,故,则,故选B.7.【答案】A【命题立意】本题考查函数的单调性与对称性,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】依题意,易知在上单调递减,且,故的图象关于中心对称,则为奇函数且单调递减,故,故选A.8.【答案】C【命题立意】本题考查空间线面的位置关系,考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.【解析】依题意,解得.如图所示,过点作,过点作,且与交于点,设,则,故,当且仅当时,取到最大值,故选C.二、选择题9.【答案】BCD【命题立意】本题考查空间线面的位置关系,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】B中直线平面;C、D中与不垂直,故直线平面不成立.故选BCD.10.【答案】ACD【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】依题意,故A正确;,故,记,则,故,则.而,联立可得,故B错误;,故当时,故,C正确;,在直角坐标系中分别作出,的图象如图所示,观察可知,它们在上有6个交点,即在上有6个零点,故D正确.故选ACD.11.【答案】ACD【命题立意】本题考查椭圆的方程、椭圆的性质、直线与椭圆的综合性问题,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】若,则,故A正确;设,则,在中,解得,在中,则,故B错误;设,则,又因为,所以,由椭圆的定义知,得.又,即点为短轴端点,故在中,在中,解得,故C正确;设,则,则,因为点,均在椭圆上,故,因为,故,故,联立故,显然,故,解得,故正确.故选ACD.三、填空题12.【答案】.【命题立意】本题考查向量的数量积及其应用,考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】依题意,则.13.【答案】2648.【命题立意】本题考查数列的通项公式,考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.【解析】设小正方形的边长为,则,解得.故第10个图形的体积为2648.14.【答案】.【命题立意】本题考查概率的基本公式,考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】记“一号列车准点到站”为事件,“二号列车准点到站”为事件,则,故,则,则,故,而,即,故,则.四、解答题15.【命题立意】本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合性问题,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】(1)依题意,解得,故双曲线的方程为.(2)依题意,得,设直线的方程为,联立整理得,因此当时,则,即故直线:,令,得,则,故,故.16.【命题立意】本题考查相互独立事件的概率、全概率公式,考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】(1)记选出小明、小红参加面试为事件,选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事件,选出小强、小真参加面试为事件,这两人本次面试的得分之和不低于16分为事件,则,(2)的可能取值为0,6,10,12,16,20,故,.故的分布列为:0610121620则.17.【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】(1)因为,故,而平面,平面,故平面.取线段的中点,连接,则,故,故四边形为平行四边形,则.而平面,平面,故平面.而,平面,平面,故平面平面.(2)如图,连接,因为是圆的直径,所以,过点作圆柱的母线,则平面,所以,互相垂直,以为原点,的方向分别为,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,则,则,所以,.设为平面的法向量,令,解得所以为平面的一个法向量.易知为平面的一个法向量.因为平面与平面夹角的正切值为,故夹角的余弦值为,所以,化简得,而,解得(舍去),则.18.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质,考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】(1)依题意,有,当时,在上单调递增;当时,令,得,当时,单调递减,当时,单调递
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