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合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高三年级第一学期期中联考数学试卷(考试时间:120分钟 满分:150分)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知:,:,若是必要不充分条件,则实数的取值范围是( )A. B. 2,+C. D. ,12. 已知集合,则( )A B. C. D. 3. 已知,则( )A. B. C. D. 4. 已知函数是上的奇函数,且当时,则当时有( )A. B. C. D. 5. 已知,则( )A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为,则实数取值范围是( )A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象如图所示,则函数( )A. 在区间上是减函数B. 在区间上是减函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数8. 定义:如果函数在区间上存在,满足,则称函数是在区间上的一个双中值函数,已知函数是区间上的双中值函数,则实数的取值范围是A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共计18分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9. 已知奇函数定义域为,若,则( )A. B. 的图象关于直线对称C. D. 的一个周期为10. 函数满足,则正确的是( )A. B. C D. 11. 已知,则( )A. 的最小值为 B. 的最大值为C. 的最小值为 D. 的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知函数对任意满足,则_.13. 若函数,则使得成立的的取值范围是_.14. 已知点A是函数图象上的动点,点B是函数图象上的动点,过B点作x轴的垂线,垂足为M,则的最小值为_四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数(1)求最小正周期和单调增区间;(2)若函数在存在零点,求实数a的取值范围16. 已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:当时,.17. 在锐角中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知(1)求角B的值;(2)若,求的周长的取值范围18. 已知函数,.(1)若,求的极值;(2)设函数在处的切线方程为,若函数是上的单调增函数,求的值;(3)函数的图象上是否存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线重合,若存在则求出的取值范围,若不存在则说明理由.19. 在平面直角坐标系中,利用公式(其中,为常数),将点Px,y变换为点的坐标,我们称该变换为线性变换,也称为坐标变换公式,该变换公式可由,组成的正方形数表唯一确定,我们将称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母,表示(1)在平面直角坐标系中,将点绕原点按逆时针旋转得到点(到原点距离不变),求点的坐标;(2)如图,在平面直角坐标系中,将点Px,y绕原点按逆时针旋转角得到点(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;(3)向量(称为行向量形式),也可以写成,这种形式的向量称为列向量,线性变换坐标公式可以表示为:,则称是二阶矩阵与向量的乘积,设是一个二阶矩阵,是平面上的任意两个向量,求证:合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷(考试时间:120分钟 满分:150分)命题学校:合肥三中 命题教师:蔡开根 审题教师:孟凡慧一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知:,:,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )A. B. 2,+C. D. ,1【答案】D【解析】【分析】解不等式确定集合,然后由必要不充分条件得是的真子集可得结论【详解】且或,又是的必要不充分条件,故选:D.【点睛】结论点睛:本题考查由必要不充分条件求参数,一般可根据如下规则判断:命题对应集合,命题对应的集合,则(1)是的充分条件;(2)是的必要条件;(3)是的充分必要条件;(4)是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系2. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据偶次根下大于等于零,结合对数函数的单调性,可得集合;根据三角函数的性质可得集合,结合交集的运算可得答案.【详解】由题意且,故,解得,故;由得,故;综上.故选:D.3. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化对数式为指数式判断,判断,化指数式为对数式判断,则答案可求.【详解】由,得;由,得;由,得.故选:C.【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较,一般可利用中介值和函数单调性进行大小比较,是基础题.4. 已知函数是上的奇函数,且当时,则当时有( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性,设,则,再变形可得函数解析式.【详解】解:设,则,因为当时,又函数是上的奇函数故当时有故选:【点睛】本题考查函数的奇偶性,属于基础题.5. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得,进而得,从而结合二倍角正弦公式即可计算求解.【详解】因为,所以,所以 ,即,所以由得,所以.故选:A.6. 若函数的定义域为,则实数取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析可知,在R上恒成立,分、两种情况讨论,在时,直接验证即可;在时,可得出,综合可解得实数的取值范围.【详解】由题意,函数的定义域为R,等价于在R上恒成立,若,则在R上恒成立,满足条件;若,则,解得.综上,实数的取值范围是,故选:A7. 已知函数与的图象如图所示,则函数( )A. 在区间上是减函数B. 在区间上是减函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数,结合图象求出函数的单调区间即可求解【详解】因为,由图象知,时,又,所以当时,即在上单调递减,当时,又,所以当时,即在上单调递增,所以选项A、C和D错误,选项B正确,故选:B8. 定义:如果函数在区间上存在,满足,则称函数是在区间上的一个双中值函数,已知函数是区间上的双中值函数,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】,函数是区间上的双中值函数,区间上存在 ,满足 方程在区间有两个不相等的解,令,则,解得 实数的取值范围是.故选:A二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共计18分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9. 已知奇函数的定义域为,若,则( )A. B. 的图象关于直线对称C. D. 的一个周期为【答案】AD【解析】【分析】由奇函数可得,再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】由函数为奇函数,则,A选项正确;又,即,则函数关于直线对称,B选项错误;由可知,即,函数的一个周期为,C选项错误,D选项正确;故选:AD.10. 函数满足,则正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件,构造函数,利用导数探讨单调,再比较大小即得.【详解】依题意,令函数,求导得,函数在R上递减,对于A,则,A正确;对于B,则,B错误;对于C,则,C正确;对于D,则,D错误.故选:AC11. 已知,则( )A. 的最小值为 B. 的最大值为C. 的最小值为 D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据指数运算,结合基本不等式即可判断A;结合对数运算,利用基本不等式可判断B;将化为关于x的二次函数,结合二次函数性质可判断是C;通过变量代换,令,得到,根据“1”的巧用,将变形后,利用基本不等式,即可判断D.【详解】对于A,由于,故,当且仅当,结合,即时,等号成立,即的最小值为 ,A正确;对于B,由于,则,当且仅当时,等号成立,故,即的最大值为,B正确;对于C,又,得,故由于,而对称轴为,则在上单调递减,在上无最值,C错误;对于D,令,则,故,由于,故,则,当且仅当,结合,即时,等号成立,所以,即的最小值为,D正确,故选:ABD【点睛】难点点睛:本题考查了基本不等式的应用,主要是求最值问题,难点是选项D的判断,解答时要通过变量代换,令,得到,根据“1”的巧用,将变形后,利用基本不等式,即可求解.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知函数对任意满足,则_.【答案】【解析】【分析】采用方程组法消去,得出的解析式即可.【详解】因为,以代替得:,得:.故答案为:.13. 若函数,则使得成立的的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题知函数为偶函数且在单调递增,由此抽象出不等式,解出即可【详解】由函数的定义域为,所以函数为偶函数当时,与为单调递增函数所以在单调递增所以所以解得:故答案为:14. 已知点A是函数图象上的动点,点B是函数图象上的动点,过B点作x轴的垂线,垂足为M,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为到上一点的最小距离即可,根据点点距离公式,得,利用导数求解最小值即可.【详解】由于是焦点在轴上的抛物线,故设其焦点为,则,所以,故求到上一点的最小距离即可,设,则,记,则由于函数在0,+单调递增,且,故当x0,1时,因此在0,1单调递减,当x1,+时,因此在1,+单调递增,故,因此,故,故答案:四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数(1)求的最小正周期和单调增区间;(2)若函数在存在零点,求实数a的取值范围【答案】(1), (2)【解析】【分析】(1)化简函数,结合三角函数的图象与性质,即可求解;(2)根据题意转化为方程在上有解,以为整体,结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数,所以函数的最小正周期为,令,则,函数的单调递增区间为.【小问2详解】令,即,则,在存在零点,则方程在上有解,若时,则,可得,得故实数的取值范围是16. 已知函数.(1)讨论函
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