梧州市2023届高三第一次模拟测试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先列举全集中的元素，再求.【详解】由题意可知，所以，.故选：A2. 若复数z满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题知，进而根据几何意义求解即可.【详解】解：因为所以，所以，复平面内的共轭复数对应的点坐标为，为第四象限的点，所以，在复平面内的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D3. 从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）A. 甲乙两班同学身高的极差相等B. 甲乙两班同学身高的平均值相等C. 甲乙两班同学身高的中位数相等D. 乙班同学身高在以上的人数较多【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确.【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为，两班身高极差不相等，故A错误；甲班同学身高的平均值为，乙班同学身高的平均值为显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B错误；根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为，所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C错误；由茎叶图可知，甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4人，故D正确.故选;D4. 已知向量，满足，则（ ）A. 3B. C. D. 4【答案】D【解析】【分析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】向量满足，故选：D5. 我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过（ ）天后，“进步”是“落后”的1000倍.（，）A. 31B. 33C. 35D. 37【答案】C【解析】【分析】根据题意可列出若干天后的“进步”是“落后”的倍数表达式，利用参考数据和对数运算法则中的换底公式即可得出结果.【详解】根据题意，如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，假设经过天后，“进步”是“落后”的1000倍，得，即，所以，代入参考数据可得，得所以，至少经过35天后，“进步”是“落后”的1000倍.故选：C.6. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，则（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理和三角恒等变换可得，再利用余弦定理即可求得的值.【详解】根据正弦定理，由得，又因为，可得，即得，所以，由余弦定理可知，得.故选：B7. 直线与圆交两点.若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题知圆心为，半径为，进而根据几何法求弦长得，解得，再计算面积即可得答案.【详解】解：由题知圆心为，半径为，所以，圆心到直线的距离为，所以，弦长，即，解得，所以的面积为故选：A8. 在正方体中，E，F分别是线段，的中点，则异面直线，EF所成角余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，连接，确定或其补角是异面直线EF与所成角，在直角中，计算得到答案.【详解】如图所示：F是线段的中点，连接交于F，由正方体的性质知，知异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，故或其补角是异面直线EF与所成角.设正方体边长为2，在直角中，故故选：C9. 已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知，函数关于对称，作出函数的图象，数形结合可求解.【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称，又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的图象，如下：由图可知，当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；所以不等式的解集为：或，故选：C10. 在三棱锥中，已知平面，.若三棱锥的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求出底面的外接圆半径，将三棱锥补成三棱柱，过底面外接圆中心作垂线，则垂线的中点即为外接球球心，进而即可求解.【详解】在中，设其外接圆半径为r，由正弦定理可得解得 ，三棱锥补成三棱柱，如图设三棱锥外接球半径为R，所以球O的表面积为故选：D11. 若函数的部分图像如图所示，直线为函数图像的一条对称轴，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图像求出函数解析式，再求出减区间.【详解】令，则可以看出经过适当的变换得到的.由题中图像知点在函数的图像上，所以，即，则结合图像可得又直线为函数图像的一条对称轴，结合图像可得-解得，再代入解得：，所以由，得.故选：B12. 如图所示，抛物线，为过焦点的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则：若的斜率为1，则；若的斜率为1，则；.以上结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题设直线的方程为，与抛物线方程联立判断，结合导数几何意义求得处的切线方程，进而得，再依次讨论即可得答案.【详解】解：由得，所以焦点坐标， 对，直线的方程为，由得，所以，所以，故错误因为，所以，则直线、的斜率分别为、，所以，因为，所以，所以，由，解得，即由题意知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，由消去得，所以，故正确所以，故正确；所以当的斜率为1，则，错误；所以，正确的个数为2个.故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 实数x，y满足：，则的最大值是_【答案】#【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，然后利用的几何意义求最值即可.【详解】根据不等式画出可行域，如下所示：设，整理可得，所以表示直线过可行域上一点时的纵截距，由图可知，当直线过点时，纵截距最大，联立，解得，所以，代入可得.故答案为：.14. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数关系与三角恒等变换公式求解【详解】由题意得，而，故，故.故答案为：15. 过四点，中的三点的双曲线方程为，则的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】由题知双曲线过点，进而待定系数得，再求解渐近线方程即可.【详解】解：由双曲线的对称性可知，必在双曲线上，所以，双曲线过点，设双曲线方程为，所以，解得所以，双曲线的方程为所以，的渐近线方程为故答案为：16. 已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式可画出函数图象，将方程分解可得，利用函数图象可知，和与函数共有5个不同的交点，对实数a进行分类讨论即可求得a的取值范围.【详解】由函数可知，其函数图象如下图所示：若关于x的方程有5个不同的实数根，即方程有5个不同的实数根，即和共有5个不同的实数根，所以和与函数共有5个不同的交点；由图可知，与函数最多有三个交点，且；所以，当，与函数有2个不同的交点，需满足 与函数有3个不同的交点，所以，解得；当时，与函数有3个不同的交点，需满足 与函数有2个不同的交点，所以解得；综上可知，所以，a的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：将方程根的个数问题转化成函数图象交点个数的问题时解决此类问题的常用方法，画出函数图象并利用数形结合对参数进行分类讨论即可得出结果.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知为数列的前n项和，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求前项的和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得；（2）结合（1）得，进而分组求和即可.小问1详解】解：因为，所以，当时，解得，当时，所以，即，所以，数列是等比数列，公比为，首项为，所以，数列的通项公式为.【小问2详解】解：由（1）知，所以，记前项的和为，所以，.18. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2016-2022年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2016-2022年）.经计算得，.（1）用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数r，并说明与相关性的强弱；（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）（2）求出与的回归直线方程；（3）若2024年该市某家庭总支出为10万元，预测2024年该家庭的教育支出.附：相关系数；在回归直线方程，.【答案】（1），线性相关程度较高 （2） （3）万元.【解析】【分析】（1）由公式计算相关系数并判断相关性即可；（2）由公式算，再由算即可；（3）2024年对应的年份代码，代入回归方程即可得到教育支出占比，即可预测2023年该家庭的教育支出【小问1详解】解：由题意得，则，故，故，与高度相关，即与的相关性很强【小问2详解】解：根据题意，得，关于的回归直线方程为【小问3详解】解：由题知，2024年对应的年份代码，所以，当时，所以，预测2024年该家庭的教育支出为（万元）19. 边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】(1)先证明平面，即可证明出平面平面(2)先利用求出点到平面的距离，然后再根据四棱锥的体积公式进行计算，即可得出结果.【小问1详解】证明：在正方形中有，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面.【小问2详解】连接MN由题意可得，由，所以为直角三角形，即，设点到平面的距离为，由得，即，得，即四棱锥的体积为20. 已知椭圆的长轴长为4，且经过点，（1）求椭圆的方程；