20242025学年河南省郑州名校联考高二上学期期中联考数学测试卷一、单选题() 1. 已知全集 ， 集合 ， 集合 ， 则 等于（ ） A B C D () 2. 直线 是双曲线 的一条渐近线， 则 （ ） A 1B 2C 4D 16 () 3. 直线 的倾斜角为 A B C D () 4. 已知 ， 向量 ， ， ， 且 ， ， 则 的值为（ ） A B C D () 5. 已知函数 是周期为2的奇函数， 且当 时， ， 则 的值为（ ） A 3B C D 2 () 6. 在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， 已知点 ， 点 满足 过点 总可以向以点 为圆心 为半径的圆作两条切线， 则半径 的取值范围为（ ） A B C D () 7. 如图所示， 在三棱锥 中， ， 且平面 平面 ， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B C D () 8. 已知 的顶点均在抛物线 上， 且 ， 过 分别作抛物线 的切线 ， 则三条切线 围成的三角形的面积为（ ） A B C D 2 二、多选题() 9. 已知曲线 的方程为 ， 则下列说法正确的是（ ） A 当时， 曲线为直线B 当时， 曲线为焦点在轴上的椭圆C 当时， 曲线为焦点在轴上的双曲线D 曲线不可能是圆 () 10. 下列说法正确的是（ ） A 在长方体中， 可以构成空间的一个基底B 已知三点不共线， 对平面外的任一点， 若点满足， 则在平面内C 若向量， 则称为在基底下的坐标， 已知向量在基底下的坐标为， 则向量在基底下的坐标为D 已知是从点出发的三条线段， 每两条线段夹角均为， 若满足， 则 () 11. 已知椭圆 和双曲线 有公共焦点， 左， 右焦点分别为 ， 设两曲线在第一象限的交点为 为 的角平分线， ， 点 均在 轴上， 设椭圆 的离心率为 ， 双曲线 的离心率为 ， 则下列说法正确的是（ ） A B 以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为C 若， 则的取值范围为D 若， 则的最小值为 三、填空题() 12. 设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点， 若 ， 则 _ . () 13. 已知直线 的一个方向向量为 ， 直线 的一个方向向量为 ， 其中 为正数， 若 ， 则 的最小值为 _ () 14. 已知长方体 中， ， 点 为平面 内任一点， 且点 到点 的距离与到面 的距离相等， 点 分别为 的中点， 则三棱锥 的体积的最小值为 _ 四、解答题() 15. 已知双曲线 的左右焦点与点 构成等边三角形 (1)求双曲线 的标准方程； (2)若直线 过定点 且与双曲线 交于 两点， 当 时， 求直线 的方程 () 16. 一个小岛（点 的周围有环岛暗礁， 暗礁分布在以小岛为圆心， 半径为 的圆形区域内， 轮船在小岛正东方 的 点处 以小岛中心为原点 ， 正东方向为 轴的正方向， 正北方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系， 取 为单位长度 (1)若轮船沿北偏西 的航向直线航行， 轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线 过点 ， 且其倾斜角为直线 的倾斜角的2倍， 求 的一般式方程， 并求暗礁边界上动点 到直线 的距离的最小值 () 17. 在 中， 角 的对边分别为 ， 已知 (1)求 A； (2)若 ， 求三角形内切圆半径的取值范围 () 18. 如图， 在四棱锥 中， 底面 是正方形， 面 为棱 上的动点 (1)若 为棱 中点， 证明： 面 ； (2)在棱 上是否存在点 ， 使得二面角 的余弦值为 若存在， 求出 的值；若不存在， 请说明理由； (3) 分别在棱 上， ， 求三棱锥 的体积的最大值 () 19. 已知椭圆 的离心率为 且过点 ， 过点 作椭圆 两条切线， 切点分别为 (1)求椭圆 的标准方程； (2)求直线 的方程； (3)过点 作直线 交椭圆 于 两点， 其中点 在 轴上方， 直线 交直线 于点 试证明： 恒成立