20242025学年湖北省“鄂北联考”高二上学期期中考试数学试卷一、单选题() 1. 经过点 两点的直线的方向向量为 ， 则 k为（ ） A 2B 4C D () 2. 已知直线 ， 若 ， 则 （ ） A 4或B 4C D 1或 () 3. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 点 P在椭圆上， 则 的周长为（ ） A 4B 8C 12D 16 () 4. 从长度为1， 3， 6， 9， 10的5条线段中任取3条， 则这三条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A B C D () 5. 如图， 已知空间四边形 的中点分别为点 ， 点 在线段 上， 且 ， 则向量 表示为（ ） A B C D () 6. 已知 ， 下列说法若 ， 则 ；若 ， 则 ；若 ， 则 ；若事件 A， B相互独立， 则 ；若事件 A， B相互独立， 则 ；正确的有（ ） A B C D () 7. 在九章算术中， 将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”， 在“鳖臑” 中， 平面 BCD， 且 ， M为 AD中点， 则异面直线 CM与 AB所成角的余弦值为（ ） A B C D () 8. 已知 为椭圆 上关于坐标原点 O对称的两点， 为椭圆的半焦距， P为平面上一点， 且 ， 椭圆的左、右顶点分别为 ， 若 ， 则椭圆的离心率为（ ） A B C D 二、多选题() 9. 一个袋子中装有大小和质地相同的4个球， 其中有2个红色球(标号为1和2)， 2个绿色球(标号为3和4)， 从袋中不放回的依次随机摸出2个球.设事件 “第一次摸到红球”， “第二次摸到红球”， “两个球颜色相同”， “两个球颜色不同”， 则下列说法正确的是（ ） A 事件A与事件B互斥B 事件C与事件D对立C 事件A与事件C相互独立D 事件B与事件D相互独立 () 10. 下列说法正确的有（ ） A 经过点， 并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为B 已知圆关于直线对称， 则的最小值是9C 点在圆上运动， 点到点M的最小距离为3D 若直线与曲线有两个不同的交点， 则实数m的取值范围是 () 11. 已知正方体 中， 三棱锥 的体积为 ， 线段 ， BC的中点分别为 E， F， 动点 M在直线 上， 动点 N在下底面 内 含边界 ， 且 ， 则（ ） A 三棱锥的体积为定值B 动点N的轨迹长度为C 不存在点N， 使得平面DEFD 点N到平面DEF的距离的最大值为 三、填空题() 12. 已知曲线 表示椭圆， 则 m的取值范围为 _ . () 13. 已知点 ， 动点 P在直线 上， 则 的最小值为 _ . () 14. 若 A， B是平面内不同的两定点， 动点 P满足 且 ， 则点 P的轨迹是一个圆， 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故被称为阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中， 已知点 ， 圆 若圆 C上存在点 M， 使 ， 则实数 a的取值范围是 _ . 四、解答题() 15. 已知 的点 ， 边 BC上的中线 AM所在的直线方程为 ， 边 AC上的高 BN所在的直线方程为 (1)求顶点 A的坐标； (2)求直线 AB的方程. () 16. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生， 教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生测试共有三题， 至少答对两题方可通过.现有甲， 乙两名考生参加测试.已知考生甲、乙答对第一题的概率分别为 ， 答对第二题的概率分别为 ， 答对第三题的概率分别为 ， 假设两人三题作答相互独立. (1)求考生甲通过测试的概率； (2)求考生甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率. () 17. 已知圆 的圆心在直线 上， 且经过点 和 . (1)求圆 的标准方程； (2)过点 作圆 的两条切线， 切点分别为 ， ， 求 () 18. 如图， 在四棱锥 中， 平面 平面 ABCD， 是斜边为 AD的等腰直角三角形， (1)求证： 平面 (2)求 PB与平面 PCD所成角的正弦值； (3)在棱 PB上是否存在点 M， 使得平面 ADM与平面 ABCD所成角的余弦值为 若存在， 求出 的值， 若不存在， 请说明理由. () 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规， 其中的一种如图1所示.四根等长的杆用较链首尾链接， 构成菱形 带槽杆 长为4， 点 间的距离2， 转动杆 一周的过程中始终有 点 M在线段 的延长线上， 且 (1)建立如图2所示的平面直角坐标系， 求出点 E的轨迹 的方程； (2)过点 的直线 与 交于 A、 B两点.记直线 MA、 MB的斜率分别为 ， （i）证明： 为定值； （ii）若直线 的斜率为 k， 点 N是轨迹 上异于 A、 B的点， 且 平分 ， 求 的取值范围.