20242025学年河北省石家庄二十七中高二上学期期中数学试卷一、单选题() 1. 直线 的倾斜角为（ ） A B C D () 2. 两平行直线 与 之间的距离为（ ） A B C D () 3. 如图， 在四面体 中， 是棱 上一点， 且 是棱 的中点， 则 （ ） A B C D () 4. 已知直线 的斜率为 ， 则直线 的一个方向向量的坐标为（ ） A B C D () 5. 我国在2022年完成了天宫空间站的建设， 根据开普勒第一定律， 天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆， 地球处于该椭圆的一个焦点上 已知某次变轨任务前后， 天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变， 远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍， 椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍， 则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ） A B C D () 6. 已知直线 的方向向量为 ， 且过点 ， 则点 到直线 的距离的最小值为（ ） A 1B 2C D 6 () 7. 设 k为实数， 直线 与圆 交点个数为（ ） A 0B 1C 2D 无法确定 () 8. 在平面直角坐标系 中， 点 F的坐标为 ， 以线段 为直径的圆与圆 相切， 则动点 P的轨迹方程为（ ） A B C D 二、多选题() 9. 已知曲线 的方程为 （ ）， 则下列说法不正确的有（ ） A 不存在， 使得曲线表示圆B 若曲线为双曲线， 则C 若曲线表示焦点在轴上的椭圆， 则D 存在实数使得曲线为等轴双曲线 () 10. 如图， 点 是边长为2的正方体 的表面上一个动点， 则下列说法正确的是（ ） A 当点在侧面上时， 四棱锥的体积为定值B 存在这样的点， 使得C 当直线与平面所成的角为时， 点的轨迹长度为D 当时， 点的轨迹长度为 () 11. （多选）泰戈尔说过一句话： 世界上最远的距离， 不是树枝无法相依， 而是相互了望的星星；世界上最远的距离， 不是星星之间的轨迹， 却在转瞬间无处寻觅.已知点 ， 直线 ， 动点 P到点 F的距离是点 P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点 P ， 则称该直线为“最远距离直线”， 则下列结论中正确的是（ ） A 点P的轨迹方程是B 直线是“最远距离直线”C 平面上有一点， 则的最小值为5D 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 三、填空题() 12. 若直线 是双曲线 的一条渐近线， 则 _ . () 13. 已知向量 , 若 , 则 的值为 _ () 14. 已知 P为椭圆 上一点， 分别为圆 和圆 上的点 则 的最小值为 _ ， 最大值为 _ 四、解答题() 15. 已知点 ， 直线 ： . (1)求过点 ， 且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ， 经直线 反射， 其反射光线通过点 ， 求反射光线所在直线的方程. () 16. 已知双曲线 的中心在原点， 过点 ， 且与双曲线 有相同的渐近线 (1)求双曲线 的标准方程； (2)已知 ， 是双曲线 上的两点， 且线段 的中点为 ， 求直线 的方程 () 17. 如图， 在四棱锥 中， 与 交于点 O， E为 中点， 经过 P， E， O三点的平面交直线 于点 F， 且 (1)证明： 平面 ； (2)当 时， 求二面角 的余弦值 () 18. 公元前3世纪， 古希腊数学家阿波罗尼斯在平面轨迹一书中， 曾研究了众多的平面轨迹问题， 其中有如下结果： 平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆， 后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中 且 (1)求点 P的轨迹方程； (2)求过点 且与点 P的轨迹相切的直线方程； (3)若点 的轨迹上运动， 求 的取值范围 () 19. 已知椭圆 的短轴长为2， 离心率 ， 椭圆 C的左顶点为 A， 右顶点为 B， 点 P是椭圆 C上位于 x轴上方的动点， 直线 AP， BP与直线 分别交于 G， H两点. (1)求椭圆 C的方程； (2)求线段 GH的长度的最小值； (3)在线段 GH的长度取得最小值时， 椭圆 C上是否存在一点 T， 使得 TPA的面积为1， 若存在求出点 T的坐标， 若不存在， 说明理由.