20242025学年河北省承德市高三上学期期中考试数学试卷一、单选题() 1. 集合 ， ， 则 （ ） A B C D () 2. 如图， 在下列正方体中， M， N为正方体的两个顶点， P， Q分别为所在棱的中点， 则在这四个正方体中， M， N， P， Q四点共面的是（ ） A B C D () 3. 设 是无穷数列， 记 ， 则“ 是等比数列”是“ 是等比数列”的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 () 4. 已知平面向量 ， 满足 ， 且 在 上的投影向量为 ， 则向量 与向量 的夹角为（ ） A 30B 60C 120D 150 () 5. 在棱长为2的正四面体 中， 为棱 AD上的动点， 当 最小时， 三棱锥 的体积为（ ） A B C D () 6. 已知函数 ， 若正实数 a， b满足 ， 则 的最小值是（ ） A B C D () 7. 如图， 圆 O与 x轴的正半轴的交点为 A， 点 C， B在圆 O上， 且点 C位于第一象限， 点 B的坐标为 ， 若 ， 则 的值为（ ） A B C D () 8. 设 为定义在整数集上的函数， ， ， ， 对任意的整数 x， y均有 ， 则 （ ） A 0B 1012C 2024D 4048 二、多选题() 9. 已知 为等边三角形， 直线 ， 的斜率分别为 ， ， 则（ ） A 直线的斜率为B 边上的高所在直线的斜率为C 边上的高所在直线的倾斜角为D 边上的高所在直线的倾斜角为 () 10. 设函数 ， ， 则下列结论正确的是（ ） A 当时， 在点处的切线方程为B 当时， 有三个零点C 若有两个极值点， 则D 若， 则正实数的取值范围为 () 11. 如图， 在棱长为2的正方体 中， 是 的中点， （与点 不重合）是平面 内的动点， 下列说法正确的是（ ） A 平面平面B 若， 则动点的轨迹为抛物线的一部分C 当时， 过点作该正方体的外接球的截面， 其截面面积的最小值为D 线段AD绕旋转一周， 在旋转过程中， AD与所成角的正切值的取值范围为 三、填空题() 12. 将扇形纸壳 OCD剪掉扇形 OAB后得到扇环 ， ， ， 如图1， 用扇环 制成一个圆台的侧面， 如图2， 则该圆台的高为 _ . () 13. 已知函数 的图象的一条对称轴为直线 ， 则函数 的零点的最小正值为 _ () 14. 过曲线 C上一点 P作圆 的两条切线， 切点分别为 A， B， 若 ， 则曲线 C的方程为 _ 四、解答题() 15. 已知圆 经过点 ， ， 且圆心 在 轴上. (1)求圆 的标准方程； (2)设直线 与圆 交于 ， 两点， 且 是直角三角形， 求 的值. () 16. 在 中， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， ， 交 AC于点 ， 且 (1)若 ， 求 的面积； (2)求 的最小值 () 17. 如图， 四边形 为梯形， ， ， 四边形 为矩形， 且 平面 ， ， 为 FB的中点 (1)证明： 平面 (2)在线段 FD（不含端点）上是否存在一点 M， 使得直线 BM与平面 所成角的正弦值为 ？若存在， 求出 BM的长；若不存在， 说明理由 () 18. 已知函数 (1)当 时， 若 在 上单调递增， 求 的取值范围； (2)若 且 在 上有两个极值点， 求 的极大值与极小值之和的取值范围 () 19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的， 经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作， 此概念逐渐被数学家接受 形如 的数称为复数的代数形式， 而任何一个复数 都可以表示成 的形式， 即 其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐角， 我们规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值， 记作argz 复数 叫做复数的三角形式 由复数的三角形式可得出， 若 ， ， 则 其几何意义是把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果 ， 就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ）， 再把它的模变为原来的 倍 请根据所学知识， 回答下列问题： (1)试将 写成三角形式（辐角取主值） (2)类比高中函数的定义， 引入虚数单位， 自变量为复数的函数称之为复变函数 已知复变函数 ， ， 当 时， 解关于 的方程 ； 当 时， 若存在实部不为0， 且虚部大于0的复数 和实数 ， 使得 成立， 复数 在复平面上对应的点为 ， 点 ， 以 PA为边作等边 ， 且 在 的上方， 求线段 的最大值