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20242025学年河北省石家庄五校联考高二上学期期中数学试卷一、单选题() 1. 直线 的倾斜角是( ) A B C D () 2. 已知双曲线 的渐近线与圆 相切, 则 的值是( ) A B C 1D () 3. 在四面体 中, 记 , , , 若点 M、 N分别为棱 OA、 BC的中点, 则 ( ) A B C D () 4. 已知直线 的一个方向向量是 , 平面 的一个法向量是 , 则 与 的位置关系是( ) A B C 与相交但不垂直D 或 () 5. 若直线 与圆 相切, 且点 到直线 的距离为3, 则这样的直线的条数为( ) A 4B 3C 2D 1 () 6. 设双曲线 , 为其右顶点, 直线 与双曲线 交于 、 两点, 若 , 则双曲线 的离心率为( ) A B C D () 7. 已知圆 过点 , , 设圆心 , 则 的最小值为( ) A B 2C D 4 () 8. 已知椭圆 的左、右焦点分别 , , 是椭圆上一点, 直线 与 轴负半轴交于点 , 若 , 且 , 则椭圆的离心率为( ) A B C D 二、多选题() 9. 已知 , 分别是椭圆 的左、右焦点, 为椭圆 上异于长轴端点的动点, 则下列结论正确的是( ) A 椭圆的焦距为6B 的周长为10C 椭圆的离心率为D 面积的最大值为 () 10. 在三棱锥 中, 为边长为 的正三角形, , , 设二面角 的大小为 , , 为 的重心, 则下列说法正确的是( ) A 若, 则B 若, 则C 若, 则与所成的角为D 若, 则 () 11. 已知曲线 , 则下列说法正确的是( ) A B 曲线关于直线对称C 曲线围成的封闭图形的面积不大于D 曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大 三、填空题() 12. 若圆 上存在两点关于直线 对称, 则 的值为 _ . () 13. 已知点 , , , 则点 到直线 的距离是 _ . () 14. 过椭圆 上一点 作圆 的两条切线, 切点为 , , 当 最大时, 点 的纵坐标为 _ 四、解答题() 15. 已知直线 , 圆 . (1)求与直线 平行且与圆 相切的直线方程; (2)设直线 , 且 与圆 相交于 , 两点, 若 , 求直线 的方程. () 16. 设双曲线 : , , , 分别是 的左、右焦点, A是 左支上一点, 且 与 轴垂直, 直线 与 的另一个交点为 . (1)若直线 的倾斜角为 , 求 的离心率; (2)若直线 在 轴上的截距为2, 且 , 求 , . () 17. 如图, 在正方体 中, , 分别为 , 的中点, 点 在棱 上, 且 (1)证明: , , , 四点共面 (2)设平面 与棱 的交点为 , 求 与平面 所成角的正弦值 () 18. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用 球面距离的定义: 球面上两点之间的最短连线的长度, 即经过这两点的大圆(经过球心的平面截球面所得的圆)在这两点间的一段劣弧的长度 这个弧长就被称作两点的球面距离 (1)在正四棱柱 (底面为正方形的直棱柱)中, , , 求顶点 , 在该正四棱柱外接球上的球面距离 (2)如图1, 在直角梯形 中, , , , 现将 沿边 折起到 , 如图2, 使得点 在底面 的射影 在 上 求点 到底面 的距离; 设棱锥 的外接球为球 , 求 , 两点在球 上的球面距离 参考数据: , () 19. 在平面直角坐标系中, 为坐标原点, , , , , 点 在线段 上, 点 在线段 上, 且 , 设直线 与 交于点 (1)证明: 当 变化时, 点 始终在某个椭圆 上运动, 并求出椭圆 的方程 (2)过点 作直线与椭圆 交于 , 不同的两点, 再过点 作直线 的平行线与椭圆 交于 , 不同的两点 证明: 为定值 求 面积的取值范围
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