20242025学年湖南省祁阳市第一中学高二上学期11月考试数学试卷一、单选题() 1. 下列条件中， 能说明空间中不重合的三点 、 、 共线的是（ ） A B C D () 2. 已知直线 与 平行， 则实数 的值是（ ） A 2或B C 或1D 2 () 3. 已知数列 的前 项和为 ， 若 ， 且 ， 则下列说法错误的是（ ） A 是递减的等差数列B 数列的首项为正数C 的最大值是20D 是中的项 () 4. 已知椭圆方程为 ， 椭圆上的点到左焦点的最大值为3， 最小值为1， 则椭圆方程是（ ） A B C D () 5. 如图， 在正方体 中， ， 则点 到平面 的距离为（ ） A B C D () 6. 已知 ， 关于直线 对称的圆记为 ， 点 ， 分别为 ， 上的动点， 长度的最大值为12， 则 （ ） A 或0B C 或0D 0 () 7. 已知 为抛物线 的焦点， 斜率为 的直线与抛物线交于 ， 两点， 且位于 轴的两侧（ 在 的上方）， （其中 为坐标原点）， 则 （ ） A B C D () 8. 设 表示集合 的子集个数， ， ， 其中 .给出下列命题： 当 时， 是函数 的一个对称中心； 当 时， 函数 在 上单调递增； 函数 的值域是 ； 对任意的实数 ， 任意的正整数 ， 恒成立. 其中是真命题的为（ ） A B C D 二、多选题() 9. 已知点 在直线 上， 圆 ， 则下列说法正确的是（ ） A 若圆关于直线对称， 则直线的方程为B 若点是圆上任意一点， 则的最大值为C 若直线与圆相切于点， 则D 若直线与圆相切， 则直线的方程为或 () 10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线 右支上的动点， 则（ ） A 若到渐近线的距离为1， 则B 若， 则点的的纵坐标为C 当点异于顶点时， 的内切圆的圆心总在定直线上D 过点作双曲线的切线交渐近线于， 两点， 若， 则曲线的渐近线方程为 () 11. 如图， 在多面体 中， 平面 ， 四边形 是正方形， 且 ， ， ， 分别是线段 ， 的中点， 是线段 上的一个动点（含端点 ， ）， 则下列说法正确的是（ ） A 存在点， 使得B 存在点， 使得平面平面C 三棱锥体积的最大值是D 当点自向处运动时， 直线与平面所成的角不变 三、填空题() 12. 在正项数列 中， ， 且 ， 则 _ . () 13. 在长方体 中， ， ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为 _ . () 14. 已知 ， 是双曲线 的左、右焦点， ， 为双曲线 上两点， 满足 ， 且 ， 则双曲线 的离心率为 _ . 四、解答题() 15. 已知点 ， ， 是平面内的一个动点， 且 ， 点 为坐标原点. (1)求动点 的轨迹方程 ； (2)圆 与 只有一个公共点， 求 的值. () 16. 若数列 是等差数列， 则称数列 为调和数列.若实数 、 、 依次成调和数列， 则称 是 和 的调和中项. (1)求 和2的调和中项； (2)已知调和数列 ， ， ， 求数列 的前 项和 . () 17. 如图， 四棱锥 的底面为菱形， ， 为 的中点， . (1)证明： 平面 平面 ； (2)若 ， ， 求平面 与 的正切值. () 18. 已知椭圆 的右焦点 ， 且经过点 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)过右焦点 作直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点. （i）若 的面积为 ， 求直线 的方程； （ii）若 斜率存在， 是否存在椭圆 上一点 及 轴上一点 ， 使四边形 为菱形？若存在， 求 ， 若不存在， 请说明理由. () 19. 在平面直角坐标系 中， 若在曲线 的方程 中， 以 （ 为非零的正实数）代替 得到曲线 的方程 ， 则称曲线 、 关于原点“伸缩”， 变换 称为“伸缩变换”， 称为伸缩比. (1)已知 的方程为 ， 伸缩比 ， 求 关于原点“伸缩变换”所得曲线 的方程； (2)射线 的方程 ， 如果双曲线 经“伸缩变换”后得到双曲线 ， 若射线 与双曲线 、 分别交于两点 、 ， 且 ， 求椭圆 的方程； (3)对抛物线 ， 作变换 ， 得抛物线 ；对 作变换 得抛物线 ， 如此进行下去， 对抛物线 作变换 ， 得 ， 若 ， ， 求数列 的通项公式 .