2024-2025学年辽宁省沈阳二十中高三（上）第三次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z1、z2满足z1+z2=z1z2，若z1=1i，则|z2|=()A. 22B. 1C. 2D. 2 22.设Sn是数列an的前n项和，且a1=1，Sn=(2Sn+1)Sn+1，则a5S11=()A. 12B. 23C. 2D. 343.在半径为2的圆C上任取三个不同的点A，B，P，且|AB|=2 2，则PAPB的最大值是()A. 2+2B. 2+2 2C. 2 2+4D. 4+4 24.已知正四棱台下底面边长为4 2，若内切球的体积为323，则其外接球表面积是()A. 49B. 56C. 65D. 1305.已知数列an的前n项和为Sn，an=2ncosn2，则S16=()A. 45(481)B. 45(471)C. 35(481)D. 35(471)6.当nN时，将三项式(x2+x+1)n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：(x2+x+1)0=1 (x2+x+1)1=x2+x+1 (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1 (x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1 (x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1 若在(1+ax)(x2+x+1)7的展开式中，x7的系数为15，则实数a的值为()A. 1B. 1C. 2D. 27.已知f(x)=memxlnx(m0)，若f(x)有两个零点，则实数m的取值范围为()A. (0,1e)B. (0,1e2)C. (1e,+)D. 1e2,+)8.已知ae2，b0，c0，当x0时，(exx a)(x+bxc)0恒成立，则abc3的最小值为()A. e327B. 127C. e39D. 19二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c则下列说法正确的是()A. ACCB0，则ABC是锐角三角形B. 若cos2A+cos2Bcos2C=1，则ABC是直角三角形C. 若A+B2，则sinA+sinB1，则tanAtanBtanC110.若实数x，y满足x24xy+y2=6，则()A. |xy|2B. |xy|12C. x2+y22D. x2+y21211.如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AB=AA1=2，BAD=60，M为线段D1C1的中点，N为线段B1C1的中点，点P满足BP=BC+BB1(01,01)，则下列说法正确的是()A. 若=1时，三棱锥PDBC的体积为定值B. 若=12时，有且仅有一个点P，使得PDPB1C. 若+=12，则|PN|+|PC|的最小值为3D. 若=0，=12，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为9 5+7 136三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若命题“xR，都有mx22mx40”是假命题，则实数m的取值范围为_13.曲线y=lnx与曲线y=12ex2的公切线方程为_14.已知函数f(x)=2x3x2ex，g(x)=2x3x2lnx的零点分别为x1，x2，且x12，x22，则x11x22= _；若ax2x1恒成立，则整数a的最大值为_(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln71.95，ln172.8.)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记Sn为等比数列an的前n项和，已知Sn=an+11(1)求an的通项公式；(2)设bn=an,n为奇数,1log2anlog2an+2,n为偶数,求数列bn的前20项和T2016.(本小题15分)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB/CD，A1A平面ABCD，ADAB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N，M分别是线段B1C1和线段DD1上的动点，且C1N=C1B1，DM=DD1(01)(1)求证D1N/平面CB1M；(2)若N到平面CB1M的距离为 1111，求D1N的长度17.(本小题15分)某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；(2)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E(X)；(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望E(Y)18.(本小题17分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA=3tanC()若C=4，b=tanB，求ABC的面积S；()求证：2a22c2=b2；()当tanA1tanB取最小值时，求tanC19.(本小题17分)已知函数f(x)=ln(1ax)+12x2(a0)(1)证明：当a=1时，f(x)只有1个零点；(2)当ax20,1 x1x2+x1+x2+1g(x1)g(x2)x1x2参考答案1.C2.B3.D4.C5.A6.A7.A8.A9.BCD10.AC11.ACD12.4,013.2x2 ey e=014.2 615.解：(1)当n2时，an=SnSn1=(an+11)(an1)=an+1an，an+1=2an(n2)，等比数列an的公比q=2当n=1时，由Sn=an+11得a1=a21，即a1=2a11，解得a1=1，所以an=2n1(2)由题意得，当n为奇数时，bn=an=2n1，当n为偶数时，bn=12(1n11n+1)，b1+b3+b5+b19=20+22+24+218=1(1410)14=13(4101)，b2+b4+b6+b20=12(113)+(1315)+(1517)+(119121)=12(1121)=1021，T20=b1+b2+b3+b20=(b1+b3+b5+b19)+(b2+b4+b6+b20) =13(4101)+1021=4103+1716.解：(1)证明：因为A1A平面ABCD，AD，AB平面ABCD，所以A1AAD，A1AAB，又ADAB，所以AB，AD，AA1两两垂直，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 因为AB=AA1=2，AD=DC=1，则D1(0,1,2)，C1(1,1,2)，B1(2,0,2)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，所以C1B1=(1,1,0)，因为C1N=C1B1=(1,1,0)，所以N(+1,+1,2)，所以D1N=(+1,0)，又CB1=(1,1,2)，DD1=(0,0,2)，DM=DD1=(0,0,2)，所以M(0,1,2)，CM=(1,0,2)，设平面CB1M的法向量为n=(x,y,z)，所以nCM=xy+2z=0nCB1=x+2z=0，令z=1，则n=(2,2+2,1)，所以nD1N=(2,2+2,1)(+1,0)=2(+1)(2+2)=0，所以nD1N，又D1N平面CB1M，所以D1N/平面CB1M；(2)若N到平面CB1M的距离为 1111，则 1111=|B1Nn|n|，又B1N=(1,+1,0)，所以 1111=|222222+2+2| 42+42+8+4+1，整理可得12232+13=0，解得=12或136(舍去)，所以N(32,12,2)，所以|D1N|= 94+14+0= 10217.解：(1)设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，则P(AB)=C41C21C62=815，P(A)=C41C21+C22C62=35，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=81535=89(2)依题意知X服从超几何分布，且P(X=k)=C2kC42kC62(k=0,1,2)，P(X=0)=C42C62=25，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C22C62=115，所以X的分布列为： X012P25815115E(X)=025+1815+2115=23(3)设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(X1)=312+612=92，P(X2=6)=P(X2=9)=12，E(X2)=612+912=152，有X名女教师参加活动，则男教师有2X名参加活动，Y=92X+152(2X)=153X，所以E(Y)=E(153X)=153E(X)=15323=13即两个教师得分之和的期望为(13分)18.解：()由题意，tanA=3tanC=3tan4=3，则sinA=3 1010,tanB=tan(A+C)=tanA+tanC1tanAtanC=3+1131=2，则sinB=2 55，所以b=tanB=2,a=bsinAsinB=23 10102 55=3 22，所以ABC的面积S=12absinC=123 222 22=32；()证明：由tanA=3tanC，可得sinAcosA=3sinCcosC，即sinA3sinC=cosAcosC=a3c，由余弦定理得：b2+c2a22bca2+b2c22ab=a(b2+c2a2)c(a2+b2c2)=a3c，化简得：b2+2c22a2=0，即2a22c2=b2；()由tanA=3tanC，可得：tanB=tan(A+C)=tanA+tanC1tanAtanC=tanA+13tanA1tanA13tanA=4tanAtan2A3，又tanA0，所以tanA1tanB=tanAtan2A34tanA=34tanA+34tanA2 3434=32，当且仅当