2024-2025学年江苏省南京市、镇江市、徐州市等十校联盟高二（上）学情调研数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l过点A(4, 3)、B(1,0)，则l的倾斜角为()A. 30B. 60C. 120D. 1502.已知等差数列an的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2=()A. 10B. 6C. 4D. 43.直线ax+2y6=0与直线3x+(a+5)y+3=0平行，则a=()A. 6B. 1C. 6或1D. 34.已知圆C的圆心在x轴上且经过A(1,1)，B(2,2)两点，则圆C的标准方程是()A. (x3)2+y2=5B. (x3)2+y2=17C. (x+3)2+y2=17D. x2+(y+1)2=55.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()A. xy=0B. x 3y=0C. 3xy=0D. 2xy=06.已知A(2,0)，B(2,0)，若圆(xa1)2+(y3a+2)2=4上存在点P满足PAPB=5，则a的取值范围是()A. 1,2B. 2,1C. 2,3D. 3,27.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点O对称，若MF1MF2=0， 15|MF2|=|NF2|，则C的离心率为()A. 154B. 157C. 2 1527D. 15248.已知数列an的通项公式an=2n1，在其相邻两项ak，ak+1之间插入2k个3(kN)，得到新的数列bn，记bn的前n项和为Sn，则使Sn100成立的n的最小值为()A. 28B. 29C. 30D. 31二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C：mx2+ny2=1，下列说法正确的是()A. 若m=n0，则C是圆，其半径为 nB. 若m0，n=0，则C是两条直线C. 若nm0时，则C是椭圆，其焦点在y轴上D. 若mn0时，则C是双曲线10.记等差数列an的前n项和为Sn，数列Snn的前k项和为Tk.已知当且仅当n=7时，Sn取得最大值，则()A. 若S6S8，则当且仅当k=15时，Tk取得最大值C. 若S6=S8，则当k=13或14时，Tk取得最大值D. 若mN，Sm=0，则当k=13或14时，Tk取得最大值11.已知椭圆C：x22+y2m2=1的焦点分别为F1(0,2)，F2(0,2)，设直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P(12,12)为线段MN的中点，则下列说法正确的是()A. 椭圆C的离心率为 33B. 椭圆上存在点Q使得F1QF2=90C. 直线l的方程为3x+y2=0D. F1MN的周长为4 6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为等比数列an的前n项和，若a1=12，a42=a6，则S5= _13.已知圆C：(x1)2+(y2)2=4，试写出一个半径为1，且与x轴和圆C都相切的圆的标准方程：_14.已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1AF1B，F2A=23F2B，则C的离心率为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列an是首项为2，各项均为正数的等比数列，且a4是6a2和a3的等差中项(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足bn=1log2anlog2an+1，求bn的前2024项和T202416.(本小题15分)已知A(1,1)，B(0,1)，点C在直线l：x+y2=0上(1)若点C的横坐标为13，求ABC的面积；(2)若ABC的周长最小，求点C的坐标及ABC的周长17.(本小题15分)已知圆F1：(x+1)2+y2=1，圆F2：(x1)2+y2=9，若动圆P与圆F1外切，且与圆F2内切，记动圆圆心P的轨迹为C(1)求C的方程；(2)过F2的直线l与C交于A，B两点.且AF2=2F2B，求直线l的方程18.(本小题17分)已知圆M：x2+(y2)2=1，直线l：xy1=0，点P在直线l上(1)求|PO|2+|PM|2的取值范围；(2)过点P引圆M的两条切线PA、PB，切点为A、B(i)求四边形MAPB面积的最小值；(ii)设AB中点为N，是否存在定点Q使得|NQ|为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由19.(本小题17分)如果一条双曲线的实轴以及虚轴分别是另一条双曲线的虚轴及实轴，则称两条双曲线共轭.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x24y2b2=1(b0)的离心率为 5，设双曲线C的共轭双曲线为C(1)求双曲线C的标准方程；(2)若双曲线C的切线l与C以及两条渐近线自上而下依次交于点A，E，F，B，求证：(i)SAOB为定值；(ii)AE=BF参考答案1.D2.C3.B4.A5.C6.A7.C8.B9.BD10.ACD11.BCD12.31213.(x1)2+(y+1)2=1或(x1)2+(y1)2=1(写其中一个即可)14.3 5515.解：(1)设数列an的公比为q0，依题意，2a4=6a2+a3，即22q3=62q+2q2，解得q=2或q=32(舍去)或q=0(舍去)，所以an=22n1=2n(2)由(1)知an=2n，bn=1log22nlog22n+1=1n(n+1)=1n1n+1，Tn=(112)+(1213)+(1314)+(1n1n+1)=11n+1=nn+1T2024=2024202516.解：(1)将xC=13代入x+y2=0中，解得yC=53，即C(13,53)，由A(1,1)，B(0,1)，知kAB=1(1)10=2，所以直线AB的方程为y(1)=2(x0)，即2x+y+1=0，所以C到AB的距离为d=|23+53+1| 22+12=2 53，而|AB|= 5，所以SABC=12|AB|d=53(2)设点A关于直线l的对称点为A(x0,y0)，由题意得，y01x0+1(1)=1x012+y0+122=0，解得x0=1y0=3，即A(1,3)， 而ABC的周长|AB|+|BC|+|CA|=|AB|+|BC|+|CA|AB|+|BA|，当且仅当B，C，A三点共线时，等号成立，此时ABC的周长取得最小值，由B(0,1)，A(1,3)，知kBA=3(1)10=4，所以直线BA的方程为y+1=4(x0)，即y=4x1，联立y=4x1x+y2=0，解得x=35y=75，即C(35,75)，此时ABC的周长为|AB|+|BC|+|CA|=|AB|+|BA|= 5+ 1717.解：(1)设动圆的半径为R，根据题意|PF1|=R+1，|PF2|=3R，所以|PF1|+|PF2|=R+1+3R=4，又因为|F1F2|=24，故P的轨迹为椭圆，所以2a=4a=2，2c=2c=1，b2=a2c2=3，所以C的轨迹方程为x24+y23=1(2)根据题意知直线l的斜率存在且不为0，设为x=my+1，联立x=my+13x2+4y212=0，得(3m2+4)y2+6my9=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93m2+4，根据AF2=2F2B，得y1=2y2，所以y2=6m3m2+4，2y22=93m2+4，消去y2得72m2(3m2+4)2=93m2+4，解得m=2 5，所以直线l的方程为y= 52(x1)18.解：(1)因为点P在直线l上，直线l的方程为xy1=0，设P(x0,x01)，易知圆M的圆心M(0,2)，半径为1，所以|PO|2+|PM|2=x02+(x01)2+x02+(x03)2 =4x028x0+10=4(x01)2+66，则|PO|2+|PM|2的取值范围为6,+)；(2)(i)因为PA，PB为圆的两条切线，所以PAAM，PBBM，因为|MA|=|MB|=1，所以四边形MAPB的面积SMAPB=2SMAP=212|MA|AP|= |PM|21，因为圆心M到直线l的距离为d=|021| 2=3 22，所以当|PM|=3 22时，四边形MAPB的面积取得最小值，最小值为 142； (ii)由(i)得M，A，P，B四点共圆，且以MP为直径，因为M(0,2)，P(x0,x01)，所以该圆方程为(xx0)(x0)+(yx0+1)(y2)=0，因为A，B在圆(xx0)(x0)+(yx0+1)(y2)=0和x2+(y2)2=1上，两式作差得x0x+(x03)y+52x0=0，所以直线AB的方程为x0x+(x03)y+52x0=0，即x0(x+y2)+53y=0，所以直线AB过定点D(13,53)，因为MNND，所以点N在以MD为直径的圆上，取MD的中点为Q(16,116)则|NQ|=12|MD|=12 (130)2+(532)2= 2619.解：(1)因为双曲线C的离心率为 5，所以e=ca= 4+b22= 5，解得b=4 所以双曲线C的方程为x24y216=1，则双曲线C的方程为y216x24=1；(2)(i)证明：当切线斜率不存在时，设切线方程为x=2，将x=2代入双曲线C方程中，解得A(2,4 2),B(2,4 2)，所以SAOB=1228 2=8 2；当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b(k2)，联立y=kx+bx24y216=1，消去y并整理得(k24)x2+2kbx+b2+16=0，此时=0，解得4k2=b2+16，即M(bk4k2,4b4k2)，联立y216x24=1y=kx+b，消去y并整理得(k24)x2+2kbx+b216=0，由韦达定理得xA+xB=2kb4k2,xAxB=16b24k2，所以|AB|= 1+k2|xAxB|= 1+k2 (xA+xB)24xAxB= 1+k2 (2kb4k2)2416b24k2= 1+k2 4k2b2(4k2)246416k24b2+k2b2(4k2)2 = 1+k24 2|b|k24，又点O到直线AB的距离d=|b| 1+k2，所以SAOB=12|AB|d=12 1+k24 2|b|k24|b| 1+k2=8 2；