2024-2025学年河南省七校高三（上）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=0,a，B=1,a2,3a4，若AB=A，则a=()A. 2B. 1C. 43D. 22.已知等差数列an的前项和为Sn，a1=3，Snan=n+12，则i=1991Sj=()A. 3350B. 99100C. 297200D. 2003033.在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点P(45,y)，则sin()=()A. 45B. 35C. 35D. 454.在(x+1)(x2)(x+3)(x4)(x+5)(xa)展开式中，含x5的项的系数是6，则a=()A. 6B. 3C. 3D. 65.已知平面向量a=(1,2),b=(m,1)，则“m0)的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AF|=3|BF|，AB的中点到y轴的距离为52，则p的值为()A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为=1,2,3,4,5,6,7,8，记事件A=“得到的点数为偶数”，记事件B=“得到的点数不大于4”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是()A. 事件B与C互斥，A与C相互对立B. P(AB)=58C. P(ABC)=P(A)P(B)P(C)但不满足A，B，C两两独立D. P(ABC)=P(A)P(B)P(C)且A，B，C两两相互独立8.若g(x)=max|2x3|,32x2，(x)=max|2x+3|,32x2，f(x)=ming(x),(x)，其中maxx,y,z表示x，y，z中的最大者，minx,y,z表示x，y，z中的最小者，下列说法不正确的是()A. 函数f(x)为偶函数B. 当x1,3时，有f(x)xC. 不等式ff(x)1的解集为1, 22 22,1D. 当x3,22,3时，有ff(x)f(x)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r(cos+isin)，其中r为复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角(也被称为z的辐角).利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn)(nN)，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，若复数z满足z5=32，则z可能的取值为()A. 2(cos10+isin10)B. 2(cos25+isin25)C. 2(cos2+isin2)D. 2(cos65+isin65)10.已知函数f(x)=x2+3ax+b，下列说法正确的是()A. 若关于x的不等式f(x)0的解集是x|x8，则a2a=bB. 若集合x|f(x)=0有且仅有两个子集，则a2b2的最大值为49C. 若f(13)=179，则1a2+1+1b2+1的最大值为 2+12D. 若b=46a，且关于x的不等式f(x)0的解集中有且仅有三个正整数，则实数a的取值范围是(73,8311.已知菱形ABCD的边长为2，ADC=60，将ACD沿AC翻折，使点D与点B重合，如图所示.记点P为翻折过程中点D的位置(不包含在点B处的位置)，则下列结论正确的是()A. 不存在点P，使得ABPCB. 无论点P在何位置，总有AC面PBDC. 当三棱锥PABC的体积最大时，直线AB与平面PBC所成角的余弦值为 105D. 当PB=2时，M为PB上一点，则AM+CM的最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列an满足a1=1,an+1an2=12n，设Sn为数列an的前n项和，则Sn= _13.若函数f(x)=x2+mx+1,x0x+1x+m,x0的最小值为f(0)，则实数m的取值范围为_14.小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有A和1张标有B的卡片，爸爸有3张标有B的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A卡片的概率记为an，则a2= _，an= _四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列an满足a1=1，an+1=an+1,n为奇数2an+2,n为偶数(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并证明数列bn+3为等比数列；(2)求an的前2n项和S2n16.(本小题15分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3asinC=c(cosA+1),a=5 3，ABC外接圆的半径为R(1)求ABC外接圆的面积；(2)圆M经过P(0,4)，且与圆(x1)2+(y2)2=R2关于直线xy1=0对称，圆M被直线PQ截得弦长为8，求直线PQ的方程17.(本小题15分)已知函数f(x)=ax2+x1ex，aR(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)当a0时，若对于任意x1,3，不等式12f(x)1+1e2成立，求a的取值范围18.(本小题17分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD面ABCD，PD=AB=4，E为棱PA上的动点(1)若E为棱PA中点，证明：PC/面EBD；(2)在棱PA上是否存在点E，使得二面角BDEA的余弦值为23？若存在，求出PEPA的值；若不存在，请说明理由；(3)E，F，Q分别在棱PA，PC，PD上，EQ=FQ=1，求三棱锥FEDP的体积的最大值19.(本小题17分)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形(1)求椭圆方程；(2)设直线l1：y=kx+m与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于l1的直线l2与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C.记直线OP的斜率为k1，直线BC的斜率为k2求k1k2的值；若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，求SOABSPAB的值参考答案1.A2.A3.C4.B5.B6.B7.C8.C9.BD10.ACD11.BC12.4n+22n113.1,014.1627115(19)n1+3515.解：(1)已知数列an满足a1=1，an+1=an+1,n为奇数2an+2,n为偶数则a2n+1=2a2n+2，a2n+2=a2n+1+1所以a2n+2=2a2n+3，即bn+1=2bn+3bn+1+3=2(bn+3)且b1+3=a2+3=a1+4=5所以bn+3是以5为首项，2为公比的等比数列，则bn+3=52n1，于是b1=2，b2=7，bn=52n13(2)记cn=a2n1，则bn=a2n=a2n1+1=cn+1，从而数列an的前2n项和为：S2n=(a1+a3+a5+a2n1)+(a2+a4+a6+a2n) =(c1+c2+cn)+(b1+b2+bn)=2(b1+b2+bn)n =25(1+21+2n1)3nn=52n+17n1016.解：(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由 3asinC=c(cosA+1)，根据正弦定理，得 3sinAsinC=sinC(cosA+1)，C(0,)，sinC0，则 3sinA=cosA+1，即2sin(A6)=1，即sin(A6)=12，又A(0,)，则A6(6,56)，A6=6，即A=3，则2R=asinA=5 3 32=10，即R=5，ABC外接圆的面积为R2=25(2)由圆(x1)2+(y2)2=R2=25，圆心为(1,2)，半径为R=5，圆M经过P(0,4)，且与圆(x1)2+(y2)2=R2关于直线xy1=0对称，设M(m,n)，由题意得m+12n+221=0n2m11=1，解得m=3，n=0，即M(3,0)，则圆M的方程为(x3)2+y2=25，当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为x=0，此时P(0,4)，Q(0,4)，则|PQ|=8，符合题意；当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y4=kx，即kxy+4=0，M(3,0)到直线PQ距离为d=|3k+4| k2+1，由d2+(|PQ|2)2=R2，得(|3k+4| k2+1)2+42=52，解得k=724，则直线PQ的方程为724xy+4=0，即7x+24y96=0综上所述，直线PQ的方程为x=0或7x+24y96=017.解：(1)因为a=0，所以f(x)=x1ex，定义域为R，可得f(x)=x+2ex，所以f(0)=2，又f(0)=1，所以曲线f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y+1=2x，即2xy1=0；(2)因为f(x)=ax2+x1ex，定义域为R，可得f(x)=ax22ax+x2ex=(ax+1)(x2)ex当a0时，令f(x)=0，解得x1=1a，x2=2，此时1a02，当x1a时，f(x)0，f(x)单调递减；当1ax0，f(x)单调递增；当x2时，f(x)0，x(2,+)，f(x)0，当a0时，01a2，即a1a时，f(x)0，f(x)单调递增；当1ax2时，f(x)2时，f(x)0，f(x)单调递增；若1a=2，即a=12时，f(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增，若1a2，即12a0时，当x0，f(x)单调递增；当2x1a时，f(x)1a时，f(x)0，f(x)单调递增，综上，所以当a12时，f(x)的单调递增区间为(,1a)和(2,+)，单调递减区间为(1a,2)；当12a0时，f(x)的单调递减区间为(,1a)和(2,+)，单调递增区间为(