2024-2025学年湖北省市级示范高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i2的共轭复数是()A. 2iB. 2iC. 2+iD. 2+i2.已知直线l经过A2,1，B1,2两点，则直线l的倾斜角为()A. 4B. 3C. 23D. 343.已知椭圆C1：x26+y22=1的两个焦点与椭圆C2：x2m2+y28=1(m0)的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 44.“a=4”是“直线l1:a2x+2y+1=0与直线l2:4x+ay1=0平行”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.如图，在正四面体PABC中，过点A作平面PBC的垂线，垂足为H点，点M满足AM=13AH，则PM=() A. 14PA+14PB+14PCB. 23PA+19PB+19PCC. 53PA+29PB+29PCD. 13PA+29PB+29PC6.已知F1,F2是双曲线E:x2a2y2b2=1ab0的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A、B两点，若AB2F1F23，则双曲线E的离心率的取值范围是()A. ( 3,3 2613)B. (3 2613,+)C. (1,3 2613)D. (1, 3)7.已知圆C：(x3)2+(y4)2=8，直线l:mx+ym3=0.若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则a+b=()A. 4 2+2 3B. 2 2+4 3C. 2 2+2 3D. 2 2+ 38.双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2PF1F2是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为()A. x254y25=1B. x25y254=1C. x22y28=1D. x28y22=1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C1 :x32+y2=1，圆C2:x2+ya2=16，则下列结论正确的是()A. 若C1和C2外离，则a2 3或a1时，曲线C可能为焦点在x轴上的椭圆D. 当m=2时，曲线C为双曲线，其焦距为 211.已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为6的菱形，AA1平面ABCD，AA1=3，DAB=3，点P满足AP=AB+AD+tAA1，其中，t0,1，则()A. 当P为底面A1B1C1D1的中心时，+t=2B. 当+t=1时，AP长度的最小值为3 22C. 当+t=1时，AP长度的最大值为6D. 当2+2+=t=1时，A1P为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,2),(0,2)，并且经过点( 3, 5)，则它的标准方程是_13.已知向量a，b满足a=1,1, 2，|b|=2，且a+b= 3ab.则ab在a上的投影向量的坐标为_14.已知等腰三角形腰上的中线长为 5，则该三角形面积的最大值为_四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知ABC顶点A(4,0)、B(6,7)、C(0,3)(1)求边BC的垂直平分线l1的方程；(2)若直线l2过点B，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程16.(本小题12分)大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢三局的学校获胜，比赛结束).约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为34，乙校获胜的概率为14；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为25，乙校获胜的概率为35.设各局比赛相互之间没有影响且无平局(1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率；(2)求甲校以3：1获胜的概率17.(本小题12分)在RtABC中，C=90，BC=6，AC=12，D,E分别是AC,AB上的点，满足DE/BC且D 点是AC边靠近C点的三等分点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，M是A1D的中点，如图所示：(1)求证：A1C平面BCDE；(2)求CM与平面A1CE所成角的余弦值18.(本小题12分)在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点A(1,1)，并且圆心在x轴上，圆C与x轴正半轴的交点为P(1)求圆C的标准方程；(2)设P1P2为圆C的动弦，且P1P2不经过点P，记k1k2分别为弦P1PP2P的斜率(i)若k1k2=1，求PP1P2面积的最大值；(ii)若k1k2=4，请判断动弦P1P2是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由19.(本小题12分)法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心， a2+b2(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长)为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(1, 63)，且短轴的一个端点与焦点的连线与y轴所成角的正弦值等于 63(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；(2)若斜率为2的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求OMN的面积(O为坐标原点)；(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求PAB面积的最小值参考答案1.C2.D3.B4.C5.B6.C7.A8.A9.BD10.ABC11.ACD12.y210+x26=113.(12,12, 22)14.10315.解：(1)由于kBC=7360=23，所以l1的斜率为k=32，BC中点M的坐标为M(3,5)，则由点斜式可得，直线l1的方程为y5=32x3，即3x+2y19=0；(2)当横、纵截距均为0时，l2的斜率为76，所以l2的方程为y=76x，符合题意；当横、纵截距均不为0时，设l2的方程为xa+y2a=1，又l2因为过点B(6,7)，所以6a+72a=1，解得a=192，所以直线l2的方程为2x+y19=0，综上，直线l2的方程为y=76x或2x+y19=0.16.解：(1)恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：甲校连胜3局，概率为P1=343425=940;乙校连胜3局，概率为P1=141435=380，故恰好比赛三局，比赛结束的概率P=P1+P2=940+380=2180；(2)甲校以3:1获胜的情况如下：前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，概率为P1=(34)23525=27200;前两局甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，概率为P2=234142525=350，故甲校以3:1获胜的概率P=P1+P2=27200+350=3920017.(1)证明：因为在RtABC中，C=90，DE/BC，所以DEAD,DECD，因为折叠前后对应角相等，所以DEA1D，所以DE平面A1CD，DEA1C，又A1CCD，CDDE=D，CD、DE平面BCDE，所以A1C平面BCDE；(2)解：因为DE经过ABC的重心，故DE=23BC=4，由(1)知A1C平面BCDE，以CD为x轴，CB为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系，由几何关系可知，CD=4,AD=8,A1C=4 3， 故C(0,0,0),D(4,0,0),E(4,4,0),B(0,6,0),A1(0,0,4 3),M(2,0,2 3)，CM=(2,0,2 3)，A1C=(0,0,4 3),A1E=(4,4,4 3)，设平面A1CE的法向量为n=(x,y,z)，则nA1C=0nA1E=0，即4 3z=04x+4y4 3z=0，令y=1，则n=(1,1,0)，设CM与平面A1CE所成角的大小为，则sin=|cos|=|CMn|CM|n|=24 2= 24，cos= 144，故CM与平面A1CE所成角的余弦值为 14418.解：(1)设圆C的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，由已知可得：a2+b2=r2;(1a)2+(1b)2=r2;b=0.解得：a=1，b=0，r=1，所以圆C的标准方程为(x1)2+y2=1；(2)(i)由(1)知P(2,0)，因为k1k2=1，所以P1PP2P，从而直线P1P2经过圆心，PP1P2是直角三角形，且|P1P2|=2，设|P1P|=a，|P2P|=b，则a2+b2=4，又4=a2+b22ab，所以ab2，当且仅当a=b= 2时取等号，所以(SPP1P2)max=12ab=1；(ii)由已知得：直线P1P2的斜率必存在，设直线P1P2的方程为y=kx+m，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，由y=kx+m,(x1)2+y2=1.，消去y得：(k2+1)x2+2(km1)x+m2=0，0，x1+x2=2(km1)k2+1，x1x2=m2k2+1，()又k1k2=y1x12y2x22=(kx1+m)(kx2+m)(x12)(x22)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x22(x1+x2)+4=4，即(4k2)x1x2(km+8)(x1+x2)+16m2=0，代入()得：3m2+14km+16k2=0，即(m+2k)(3m+8k)=0，解得：m=2k，或m=83k，当m=2k时，此时直线P1P2的方程为y=k(x2)，过定点P(2,0)(舍去)，当m=83k时，此时直线P1P2的方程为y=k(x83)，过定点(83,0)，故当k1k2=4，动弦P1P2过定点(83,0)19.解：(1)由已知可得，ca= 63，由椭圆过点(1, 63)，得(1)2a2+( 63)2b2=1由解得a= 3，b=1，于是 a2+b2=2，所以椭圆C的蒙日圆的方程为x2+y2=4(2)由(1)知，椭圆C的方程为x23+y2=1，设直线l的方程为y=2x+m，由y=2x+mx23+y2=1消去y并整理得，13x2+12mx+3(m21)=0，由=144m242(3m23