专题18 导数之隐零点问题1已知函数（表示不超过实数的最大整数），若函数的零点为，则（ ）AB-2CD【解析】因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递增；又，所以在上必然存在零点，即，因此，所以.故选B2设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_.【解析】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点，当时，则，在上单调递减，在上单调递增，且，从而可得图象如下图所示：通过图象可知，若与有三个不同的交点，则3已知函数（1）求的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围【解析】（1），令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，无最大值（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以设，易知在上单调递增因为，所以存在，使得，即当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以，从而，故的取值范围为4已知函数，证明【解析】在上单调递增，在存在唯一实数根，且，当时，时，当时，函数取得最小值，即，5设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：【解析】（1）时，令，可化为，即，易知为增函数，且，所以当时，单调递减；当时，单调递增，又，所以当时，单调递增；当时，单调递减（2）令，可化为，当时，易知为上增函数，当时，；当时，；当时，而，所以存在，即，当时，单调递减；当时，单调递增，所以6已知函数，（1）求函数的极值；（2）当时，证明：【解析】（1），当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值；当时，时，函数单调递减；时，函数单调递增，故函数的极小值为，无极大值（2）证明：令，故，令的根为，即，两边求对数得，即，当时，单调递增；当时，单调递减，即原不等式成立7已知函数在上有两个极值点，且（1）求实数的取值范围；（2）证明：当 时，【解析】（1），由题意知方程在上有两不等实根，设，其图象的对称轴为直线，故有，解得（2）证明：由题意知是方程的大根，从而，由于，设，在，递增，即成立8设函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若，为整数，且当时，求的最大值【解析】（1），函数的图象在点处的切线方程为（2），若，则恒成立，所以，在区间上单调递增若，则当时，当时，所以，在区间上单调递减，在上单调递增3）由于，所以，故当时，令，则函数在上单调递增，而（1），（2）所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点设此零点为，则当时，；当时，；所以，在上的最小值为由，可得，所以，由于式等价于故整数的最大值为29已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：不等式恒成立【解析】（1），当时，所以在上单调递增；当时，令，得到，所以当时，单调递增；当，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）设函数，则，可知在上单调递增又由，知在上有唯一实数根，且，则，即当时，单调递减；当时，单调递增，所以，结合，知，所以，则，即不等式恒成立10已知函数（1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（2）当时，证明：【解析】（1）由函数的定义域，因为，是的极值点，所以（1），所以，所以，因为和，在上单调递增，所以在上单调递增，当时，；时，此时，的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）证明：当时，设，则，因为和，在上单调递增，所以在上单调递增，因为（1），（2），所以存在使得，所以在上使得，在，上，所以在单调递减，在，上单调递增，所以，因为，即，所以，所以，因为，所以，所以11设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)2x1，令f(x)0，得x(负值舍去)，当0x0；当x时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)令f(x)x2axln x0，得ax.令g(x)x，其中x，则g(x)1，令g(x)0，得x1，当x1时，g(x)0；当10，g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3，g(x)ming(1)1，函数f(x)在上有两个零点，g3ln 3，g(3)3，3ln 33，实数a的取值范围是.12已知二次函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，记为函数极大值点，求证：.【解析】（1），当时，在上恒正；所以在上单调递增.当时，由得，所以当时，单调递减；当时，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增.（2），则，令的，当时，为增函数；当时，为减函数；所以，在处取得极大值，一定有个零点，分别是的极大值点和极小值点.设是函数的一个极大值点，则，所以，又，所以，此时，所以.13已知函数，且.（1）求；（2）证明：存在唯一极大值点，且.【解析】（1）因为,且,所以,构造函数,则,又,若,则,则在上单调递增,则当时,矛盾,舍去；若,则,则当时,，则在上单调递增，则矛盾，舍去；若,则,则当时,则在上单调递减,则矛盾,舍去；若,则当时,当时,则在上单调递减,在上单调递增,故,则,满足题意；综上所述,.（2）证明:由（1）可知,则,构造函数,则,又在上单调递增,且,故当时,当时,则在上单调递减,在上单调递增,又,又,结合零点存在性定理知,在区间存在唯一实数,使得,当时,当时,当时,故在单调递增,在单调递减,在单调递增,故存在唯一极大值点,因为,所以,故,因为,所以.14已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，记函数在上的最大值为，证明：.【解析】（1）函数的定义域是， .当时，恒成立，故函数的单调递增区间为，无单调递减区间.当时，令得时，令得，故函数的单调递增区间为单调递减区间为；（2）证明：当时，则.当时，令，则.所以在上单调增.因为，所以存在使得，即，即.故当时，此时；当时，此时.即在上单调递增，在上单调递减，则.令，则，所以在上单调递增，则，所以.15已知函数.（1）求的极值；（2）若在上的最大值为，求证：.【解析】（1）因为函数，定义域为，所以.由，得；由，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为，所以的极小值为，无极大值.（2）因为，所以.令，则，当时，所以在上单调递增.因为，所以存在使得，即，即.故当时，此时；当时，此时.即在上单调递增，在上单调递减，则.令，则，所以在上单调递增.则当时，所以.由（1）知在上单调递减，因为，所以.16已知函数且.（1）求实数的值；（2）令在上的最小值为，求证：.【解析】（1）法1：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，令，则，当时，故在上单调递增，由于，所以当时，不合题意.当时，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，即 .所以要使在时恒成立，则只需，亦即，令，则，所以当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增.又，所以满足条件的只有2，即.法2：由题意知：恒成立等价于在时恒成立，令，由于，故 ，所以为函数的最大值，同时也是一个极大值，故.又，所以，此时，当时，当时，即：在上单调递增；在上单调递减.故合题意.（2）由（1）知 ，所以，令，则，由于，所以，即在上单调递增；又，所以，使得，且当时，；当时，即在上单调递减；在上单调递增.所以 .（）即，所以 ，即.17已知函数（1）若函数，讨论在的单调性；（2）若，对任意恒成立，求整数k的最大值【解析】（1）因为，令，则所以函数在单调递增，从而，所以由，得；由，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增（2）因为，对任意恒成立，所以令，则，所以在R上单调递增，又，所以存在唯一的，使得，又，由（1）知当时，所以，所以存在唯一的，使得，即当时，所以单调递减；当时，所以单调递增，所以，又，所以k的最大值为18已知函数，（1）若是函数的极值点，求a的值；（2）当时，证明：【解析】（1），由题意知，又设，显然当时，因此函数是增函数，而，所以当时，单调递减；当时，单调递增，故是函数的极小值点，故符合题意（2）当时，对于时，有，即，故要证明，只需证明，令，即只需证明，则有，设，则显然当时，因此函数是增函数，故存在，使得，即，因此当时，单调递减；当时，单调递增，所以有，又，设，则，单调递减，因此有，故，故，原不等式得证