专题11 利用导数研究方程的根一、单选题1若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（ ）ABCD【解析】设，令，解得或，则，随的变化如下表 单调递增极大值4单调递减极小值单调递增则当时，函数有极大值；当时，函数有极小值，又当时，当，所以当时，有三个不同的实数根，此时，故选：.2若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】由题意得，设，.当时，为增函数；当时，为减函数,且.所以有最大值，简图如下，由图可知，时符合题意.故选：C.3若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】，当时，无实数解，不符合题意，故.于是有，令，显然当时，；当时，.，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因此当时，函数的图象一致如下图所示：因此要想有实数根，只需方程组：有交点，如上图，则有实数的取值范围是.故选：D4已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）ABCD【解析】设，其中，则函数在上为单调递增函数，且当时，函数，且，可得方程的实根，则，又由，可得，即，构造新函数，可得，所以在上为单调递增函数，可得，因为实数是方程的实根，则，即，所以，即，所以A正确，B不正确.令，可得，为单调递增函数，由，即，所以，又由，且，所以，所以C、D不正确.故选：A.5已知函数在上是增函数，在0，2上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，2，则的最小值是（ ）A5B6C7D8【解析】由，求导得，在上是增函数，在0，2上是减函数，即，此时的另外一个根为，且方程有3个实数根，它们分别是，2，即，且，所以，化简函数，所以则，所以，因为，所以，所以的最小值是5.故选：A.6已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】当时，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，故在上单调递减，在上单调递增，其大致图象如图所示，由，得，令，关于的方程有四个不同的实根等价于函数，的图象有四个不同的交点.当时，的图象在点处切线斜率为，该切线过点时，满足，即，解得，所以的图象过点的切线斜率为；的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，因为，解得，所以的图象过点的切线斜率为.结合函数图象可知，当的取值范围是时，的图象有四个不同的公共点.故选:A.7已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（ ）ABCD【解析】由的方程，则，设，则，令，则，即在上为增函数，当时，当时，关于的方程在，上有两解，又，即，故选：B8设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】，设，则，当时，递增，当时，递减，故，故在区间上递增，又，故在上单调递增在上的值域为又上的值域是，故，存在区间满足题意，等价于方程在上至少有两个不等正根，分离参数得，令，则题意等价于函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点，得，由得，当得，得在递减，在递增，又当时，趋近于时，趋近于题意等价于，故选：B 二、多选题9若函数的图像和直线yax有四个不同的交点，则实数a的取值可以是（ ）A4B2C0D【解析】当时，由得，即；当时，由得，此时是方程的一个根，当时，得，设，所以原题等价于函数的图像和直线有三个不同的交点，当时，由得，此时单调递增；由得，此时单调递减，故，取得极小值；当时，作出的函数图象，如图：数形结合知：要使函数的图像和直线有三个不同的交点，则实数a满足或，结合选项知BD符合.故选：BD.10已知函数，若，则的可能取值为（ ）ABCD【解析】由题意得，因为，易得f(x)在(-，)上单调递减，在(，+)上单调递增，又当x(，0)时，f(x)0，作函数的图象如图所示.由图可知，当t0时，有唯一解，故，且，设，则，令解得t=e，易得在(1，e)上单调递增，在(e，+)上单调递减，即的取值范围为.故选：BC.11已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的值可能为（ ）ABCD【解析】设，则是偶函数，由已知0有4个解，所以时，有2个解 时，显然不是方程的解，因此有两个正实根设，则，当且时，时，在和上单调递减，在上单调递增，时，是极小值，所以时， ，而且时，时，所以有两个正实根时，只有CD满足故选：CD12已知函数，若关于的方程的解，则实数的可能取值为（ ）ABC0D1【解析】，当时，故在单调递减，则恒成立，则当时，在无解，故C错误；令，若，则时，此时恒成立，显然D错误；对于A，B，当时，在上恒为正，故在上单调递增又因为，在上存在唯一零点，当，；，在上单调递减，在上单调递增，而，故在上存在唯一零点，A，B正确故选：AB.三、填空题13若函数的图像与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是_【解析】，所以当和时，单调递增，当时，单调递减，极大值，极小值，的图像与轴有三个不同的交点，所以，得14函数，若方程有一个解，则的取值范围为_【解析】，在上，单调递减；在上，单调递增；当时，取得极小值.当时，,当时当时当时当趋近于时趋近于，函数的图象如图所示.方程有一个解，等价于函数的图象与水平直线有且只有一个公共点，或15已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为_.【解析】当时，此时，所以不是方程的根，当时，方程可化为： ，设，方程有三个不同的实数根，即与函数的图像有3个交点.当时，此时单调递减，且，当时，则，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减.且时，当时，时,.作出的图象如图.由图可得:当时，与函数的图像没有交点当时，与函数的图像有1个交点当时，与函数的图像有2个交点当时，与函数的图像有3个交点当时，与函数的图像有2个交点所以方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为16已知关于x的方程在上有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是_【解析】，方程两边同时除以得，令，当时，；当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，由得出，则，设，当时，；当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，当，则当，即时，对应方程有两个解，此时分别对应两个，故方程有四解，即四、解答题17已知函数.（1）当且时，求函数的单调区间；（2）若，关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围.【解析】（1）函数的定义域是，.当时，在上恒成立，在上恒成立，的增区间为，的减区间为.当时，在和上恒成立，在上恒成立.时，的增区间为和，的减区间为.综上所述，当时的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）若，关于的方程有三个不同的实根，等价于的图象与直线有三个交点.，由解得或,由，解得.在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又当趋近于时趋近于，当在定义域内趋近于0时，趋近于-，趋近于-，的图象与直线有三个交点时的取值范围是.18已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）函数，求的解的个数.【解析】（1）由，得，故，令，解得，令，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增；（2）令，则，若，则，在上单调递减，而，故有1个零点，若，可得时，时，在上单调递增，在上单调递减，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，而，故时，有2个零点，当时，有1个零点，综上，时，有1个解，当时，有2个解.19已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数与图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，定义域为，且.令，即，解得；令，即，解得.因此，函数的增区间为，减区间；（2）由已知得：在有两个不相等的实数根.令，由得.当时，此时，函数为减函数；当时，此时，函数为增函数.所以，函数在处取得极小值，又，且，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.20已知函数（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当时，若方程有两个不等实数根，求实数m的取值范围，并证明【解析】（1）由在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即求，求导，当时，所以在上单调递减，所以实数a的取值范围是，（2）当时，有两个不等实数根，有两个不等实数根，令，则，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减； 所以时，函数取得极小值，也即是最小值，所以实数m的取值范围是，易知，令，则，在上单调递增，故，即 ，21已知函数，其中（1）若，求函数的单调减区间；（2）设方程在上恰有个不等实根，求证：【解析】（1）因为，所以，由得，当时，所以和时，单调递减，当时，所以在上单调递减，当时，所以和时，单调递减，综上所述，当时，的减区间为和，当时，的减区间为，当时，的减区间为和，（2）由得，令（），则由题意得与直线恰有个交点，所以，令（），则易知单调递减，所以存在，使得，此时，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以，因为，时，故要使得与恰有个交点，则，又因为，所以成立22已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的取值范围；（3）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围【解析】（1）当时，由，切点，所以切线方程，（2），令，则，若，则当时，为减函数，而，从而当时，即，若a1，则当时，为减函数，而，从而当时，即，综合得a的取值范围为，（3）令，由，得，则，令，则当时，为增函数，所以，即令，则，当时，单调递减；当时，单调递增所以，故当时，有2个解，即有2个零点，则的取值范围为