专题13 参变分离法解决导数问题一、单选题1若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】函数，则，因为函数在上单调递增，令，则，即，令，函数在上单调递减，在上单测递增，故，解得，故选：A.2若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】依题意：，令，则，令，则，易知单调递增，所以单调递增，故，故，则在上单调递增，故，即实数的取值范围为，故选：B.3若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【解析】由题意可得，没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令，则，令则在上单调递减且，所以当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取得最大值，又时，时，结合图象可知，即.故选：C.4已知函数，对于任意，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【解析】因为，所以同号，因此与的单调性相同，因为，所以函数单调递增，因此也单调递增，因为是增函数，故恒成立即恒成立，则，设因为，故单调递增，又，故当时，即，因此单调递减，当时，即，因此单调递增，故最小值为故故选：D5已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】令，显然，所以，令（），则问题转化为“若图象与图象有三个交点，求的取值范围”.，令，解得，当或时，在，单调递增，当时，在单调递减，在处取极小值，作出的简图，由图可知，要使直线与曲线有三个交点，则，故实数的取值范围是.故选：C.6已知函数在上有两个零点，则实数a的最大值为（ ）AB1CD【解析】由得，即，.令，则，令，则，所以在上单调递增，又，则当时，即；当时，即；所以，又，且，作出，的简图，由图可知，要使的图象与的图象有两个不同的交点，则，所以，当函数在上有两个零点时，实数的最大值为.故选：A.7已知对任意正数恒成立，则实数的最大值为（ ）AB1C2D【解析】由对任意正数恒成立，得，令，则，由得，当时，；当时，.所以，即（当且仅当时，取等号.）所以，当时等号成立，所以，所以的最大值为2.故选：C8已知函数的图象在处的切线与直线垂直，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）ABCD【解析】由，得，因为函数的图象在处的切线与直线垂直，所以，则，所以，对，即,当时，显然.当时，恒成立.令，则.时，恒成立.所以当时，单调递增；当时， 单调递减，所以在内的最小值为，故.当时，恒成立.当时，显然，由知，因为，所以由得.令，显然在单调递增，又，所以存在使得，即.当时，单调递增；当时，单调递减，所以在内的最大值为，故.综合可知，故实数的最大值为3.故选：C二、多选题9已知函数在区间上只有一个零点，则实数可取的值有（ ）ABCD【解析】由题意可知，在区间上只有一个根，等价于在区间上只有一个根，等价于与的图像有唯一一个公共点，由得，令 得，当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增，在区间内，当时取极小值也是最小值，当，又，且，则满足条件的的取值范围是，所以可取的值为、.故选:CD.10已知函数有两个零点，且，则下列选项正确的是（ ）AB在上单调递增CD若，则【解析】令得，记，令得，当时，单调递增；当时，单调递减；且时，时，据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，所以，故A选项正确；因为所以当时，递增，因为，所以，故B选项正确；当时，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以C选项错误；因为在递增，在递减，且，所以，因为，所以，因为，所以，所以，故D选项正确故选：ABD.11已知定义在R上的奇函数在上单调递增，则“对于任意的，不等式恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）ABCD【解析】奇函数在上单调递增，则在上也单调递增，即是R上的单增函数；，则，即在上恒成立；令，则 ，记，恒成立，即单减，又，则必有，使，故，因此，单增，单减，因此，由代入得，故若使在上恒成立，则，根据充分不必要条件的定义可以判断C、D正确，A、B错误；故选：CD.12关于函数，下列说法正确的是（ ）A当时，在处的切线方程为B若函数在上恰有一个极值，则C对任意，恒成立D当时，在上恰有2个零点【解析】对于A，当时，所以，故切点为（0，0），则，所以，故切线斜率为1，所以在处的切线方程为：，即，故A正确；对于B，则，若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，令，即在上恰有一个解，则在上恰有一个解，即与的图象在上恰有一个交点，令，解得：，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，极小值为，而，作出，的大致图象，如下：由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；对于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，设，则，令，解得：，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，所以在上的最大值为，所以时，在上，恒成立，即当时，才恒成立，所以对任意，不恒成立，故C不正确； 对于D，当时，令，则，即，作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，则在上恰有2个零点，故D正确.故选：ABD.三、填空题13设函数，其中，e是自然对数的底数若在定义域内有两个极值，求a的取值范围_【解析】因为有两个极值点，所以有两个零点，即有两个零点，令，则，因为恒成立，所以导数的正负取决于分子，令，显然在定义域内单调递减，且，所以在区间单调递增，在区间单调递减，且，函数图象如下图所示，所以若有两个交点，则14已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_【解析】依题意，知，即对任意恒成立，从而，因此由原不等式，得恒成立令，则令，得当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，所以，故实数的取值范围是15不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_【解析】由不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立令，其中，则，故在上单调递减，故在上单调递减，所以，可得，.因此，实数的取值范围是.16已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最大值为_【解析】原不等式变形为，设，由可知，函数在上递减，在上递增，所以恒成立，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号设，显然函数为增函数，所以存在唯一的，使得因为不等式对任意的恒成立，所以，即，当时，因为，所以故的取值范围为，即实数a的最大值为1四、解答题17已知函数，.（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由题知的定义域为.又，则.又因为，所以切点为.所以，解得.（2）当时，.当时，不等式恒成立即不等式，恒成立.设，则.因为，所以.所以在上单调递减，从而.要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范围为.18已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；（2）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）若时，由导数的几何意义可得，所以在处的切线方程为，即，所以切线方程为（2）不等式在上恒成立，所以，在上恒成立，所以，在上恒成立，令，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以，所以，所以的取值范围为19已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若在上有两个零点，求实数的取值范围【解析】（1）当时，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程，即.（2）由题意知：在上有两个零点，显然，由，得，令，则，令 ，则，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，又，时，故当在上有两个零点时，所以，所以实数的取值范围为.20已知函数（1）若函数在处取得极值，求的值并确定在处是取得极大值还是极小值（2）若对恒成立，求的取值范围【解析】，解得，当或时，单调递增；当时，单调递减在处取得极小值由，得，设，当时，单调递减；当时，单调递增，对恒成立，原问题等价于对恒成立，令，则当时，此时单调递增；当时，此时单调递减；，.21已知函数，.（1）若函数在处的切线恰好与直线垂直，求实数的值；（2）讨论的单调性；（3）若函数存在极值，在上恒成立时，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意可知，函数的定义域为，.，因为在处的切线与直线垂直，则，解得.（2）由（1）可知，令，对称轴为，当，即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；当，即时，令，得恒成立，所以，所以在上恒成立，即函数在上单调递减；在上恒成立，即函数在上单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）可知，函数存在极值，则.对于，不等式恒成立，等价于恒成立.令，则恒成立.令，则.令，则，所以在上单调递减，因为，所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以，即，解得.22已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若对任意，都有恒成立，求整数a的最大值.【解析】（1）当时，定义域为 ，注意到 当时，单调递增，当时，单调递减。的单调递增区间为，递减区间为 ，在时取得极大值且极大值为，无极小值. （2）原不等式恒成立 ，变形有，即在恒成立. 设原问题等价于，令 ，则，在单调递增， ，由零点存在定理有在存使即 ，当时，单调递减，当时，单调递增，利用 ， ，的最大值为4.