专题17 导数中的三角函数问题1设函数.（1）若在处的切线为，求的值；（2）当时，恒成立，求的范围.【解析】（1）由得：，且. 由题意得：，即，又在切线上.，得.（2）当时，得，当时， ，当时，此时.，即在上单调递増，则，要使恒成立，即，.2已知函数 （1）若 ，求的极值；（2）证明：当 时，【解析】（1），, 当时,；当时, 当变化时,的变化情况如下表：单调递增单调递减因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值.（2）令函数, 由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.又 ，故在存在唯一零点.设为,则，当时,；当时,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减，又，所以，当时,. 故.3设函数（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，【解析】（1）设，因为当时，为增函数，当时，所以在上恒大于零，所以在上不存在零点，当时，在上为增函数，根据增函数的和为增函数，所以在上为单调函数，所以在上若有零点，则仅有1个，所以，即，解得，所以实数的取值范围（2）证明：设，则，则，所以 ，因为，所以，所以在上递增，在上恒成立，所以在上递增，而，因为，所以，所以恒成立，所以当时，4已知函数，（其中）.（1）证明：当时，；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，恒成立，在上单调递减，所以，当时，都有，因此，当时，；（2）即，由得，令，令，则，得在单调递减，从而当时，单调递减，当时，单调递增，所以，得.即实数的取值范围为.5已知函数，.（1）若，求的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【解析】（1）若，则，令，则，令，则，的单调递增区间为和，单调递减区间为，（2），令，则令，则.，在上单调递减，在上单调递减，故所以实数的取值范围是.6设，（1）讨论在上的单调性；（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明【解析】（1），令，则，或，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，时，单调递减，综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为和（2）在上有3个零点，证明如下：，则，故是的一个零点，是偶函数，要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，当时，令，即，时，单调递减，时，单调递增，在有唯一零点当时，由于，而在，单调递增，故，故在，无零点，在有一个零点，由于是偶函数，在有一个零点，而，故在上有且仅有3个零点7设（1）恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：当时，【解析】（1）解，当时，恒成立，所以在为增函数此时恒成立：当时，存在，使得，所以在单调递减，当时，与矛盾综上所述，的取值范围为；（2）证明：原不等式等价于易知，令，则，所以在是减函数，考虑到在也是减函数，所以，在为增函数，又因为，所以时，所以在为增函数，又因为，所以在成立，命题获证8已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：；（3）求证：当时，方程有且仅有2个实数根.【解析】（1）因为，故在点处的切线斜率为，点为，故所求的切线方程为，（2）令，的定义域为，当时，恒成立，在上单调递减，当时，恒成立，在上单调递增，当时，恒成立，故当时，；（3）由，即，则，设，的定义域为，设，的定义域为，当时，恒成立，在上单调递减，又，存在唯一的使得，当时，则，在上单调递增，当时，则，在上单调递减，在处取得极大值也是最大值，从而又，在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有2个实数根9已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）由题可知.令，得，从而，的单调递减区间为.（2）由可得，即当时，恒成立.设，则.令，则当时，.当时，单调递增，则当时，单调递减；当时，单调递增.，.10已知函数，.（1）判断函数的单调性；（2）若，且，证明：.【解析】（1），由得，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2），且，由（1）知，不妨设.要证，只需证明，而，在上单调递减，故只需证明.又，只需证明.令函数，则，当时，故，在上单调递增，故在上，成立，故成立.11已知.（1）当有两个零点时，求的取值范围；（2）当，时，设，求证：.【解析】 (1)由题知，有两个零点，时，故当有一个非零实根，设，得，在上单调递减，在上单调递增.又，时，；时，.所以，的取值范围是或.(2)由题，法一：，令，令，在上单调递减，在上单调递增.，法二：要证成立，故设，()，令，则，在上单调递增.又，使，在上单调递减，在上单调递增.=0，12已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）求实数的值，并证明：对，恒成立（2）设函数，试判断函数在上零点的个数，并说明理由【解析】（1）根据题意，曲线在点处的切线方程为，此时若要证明，对，恒成立，需证明，故需证明，则令，；，函数在上单调递减；在上单调递增；故有当，即对，恒成立，恒成立（2）根据题意可得，在同一个直角坐标系中作出函数和的图象如下：假设当时，函数和的相交，时，单调递增；时，单调递减；即得，又，综上可得，函数在上无零点，在上只有一个零点，即函数在上只有一个零点13设函数，（为参数）（1）当时，求的单调区间，并证明有且只有两个零点；（2）当时，证明：在区间上有两个极值点【解析】（1）当时，.当时，；当时，所以在和单调递增，在单调递减且，.根据零点存在定理得，在有唯一零点，在有唯一零点，因此，在上有且只有两个零点（2）当时，令，则，当时，当时，故在单调递减，在单调递增又因为，根据零点存在定理得，在和各有一个零点分别为，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，故在上有一个极大值点和一个极小值点14已知函数，.（1）若在上有极值点，求的取值范围；（2）若，时，求的最大值.【解析】（1），依题意，有变号零点，令，则，所以在有实根，注意到，所以，解得，即.（2），当时，显然成立；当时，所以.记，则恒成立，在单调递增，若，则，记，则，所以存在，使得，当时，单调递减，所以时，不符题意，当时，即时，单调递增，所以，符合题意，当时，由，所以，而时，所以成立，综上所述，的最大值为3.15已知是自然对数的底数，函数，.（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；（2）若当时，有解，求实数的取值范围.【解析】（1）由得.曲线在点处的切线斜率为，.当时， 当时，则，在上单调递增，；（2），设，则当时，有解.，.当时，解，可得或，解得，.当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.，且，的取值范围为.16已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的取值范围【解析】（1）因为，所以，所以 所以所求切线方程为 （2）法一：设，则当时， 所以，所以 因为，其中， 又当时，所以在单调递增 因为，所以存在，使 03极小所以在单调递减，在单调递增 依题意，只需，即所以的取值范围是 法二：设，则当时，当时，当时，设 则令，则所以时，单调递增所以时，单调递增依题意，只需，即所以的取值范围是17已知函数.（1）当时，求证：；（2）求证：当时，方程有且仅有个实数根.【解析】 (1)令，的定义域为， 当时，恒成立，在上单调递减，当时，恒成立， 故当时，； (2)设，的定义域为，设，的定义域为， 当时，恒成立，在上单调递减，又，存在唯一的使据， 当时，则，在上单调递增，当时，则，在上单调递减， 在处取得极大值也是最大值，又， 在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根.18已知函数（1）试讨论函数在区间上的极值点的个数；（2）设，当时，若方程在区间上有唯一解，求实数的取值范围【解析】（1），当时，因为，所以，所以单调递增，在上无极值点；当时，在上单调递减，所以存在，使得，则为的极大值点；在上单调递增，所以存在使得，则为的极小值点；所以在上存在两个极值点当时，在上单调递增，所以存在，使得，则为的极小值点；在上单调递减，所以存在使得，则为的极大值点；所以在上存在两个极值点综上所述，当时，在上无极值点；当或时，在上存在两个极值点（2）当时，则，设，则因为，所以在区间上单调递减，因为所以存在唯一的，使得，即，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为，又因为方程在区间上有唯一解，所以19已知函数（1）若在上为单调递减函数，求实数的取值范围；（2）设函数，若恰有1个零点，求实数的取值范围【解析】（1）在上为单调递减函数，对任意恒成立，则，令，则，在单调减，则的最小值为，即，所以实数a的取值范围是，（2），所以，当时，所以在单调递增，又因为，所以在上无零点当时，使得，当时，当时，所以在单调递减，在单调递增，又因为，所以若，即时，在上无零点，若，即时，在上有一个零点，当时，在上单调递减且，所以在上无零点，综上，20已知函数.（1）若，证明：；（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.【解析】（1）证明：当时，令，则，当时，；当时，所以函数在上递减，在上递增，所以，即；（2），由在上有两个极值点，则在上有两个不同的实根，即，设，令，则，当时，；当时，所以函数在上递减，在上递增，又，又，所以当时，方程有 两个不同的实数根，所以实数a的取值范围为.21已知函数，其中为的导数（1）若为定义域内的单调递减函数，求a的取值范围；（2）当时，记，求证：当时，恒成立【解析】（1）因为，所以，要使为定义域内的单调减函数，需满足，即，令，由且函数在上单调递减，又，所以在上单调递增，在上单调递减，知的最大值为，所以当时，在定义域内单调减函数综上，a的取值范围是（2）当时，要，即证，当时，而，所以成立，当时，令，则，记，