专题07 利用导数证明不等式一、单选题1当时，有不等式（ ） ABC当时，当时D当时，当时【解析】对于函数其导数，当时，当时，当时.2已知是自然对数底数，若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） ABCD【解析】函数的定义域为，当即时，令，则，令得x=0，令得x0，可知在单调递减，在单调递增，故当x=0时，g(x)有最大值，所以，根据补集思想可知，当时，实数的取值范围为，故选C3已知实数a，b，c满足，且，则（ ）ABCD【解析】设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故选：A.4若正实数，满足，则（ ）ABCD【解析】先证明熟知的结论：恒成立，且当且仅当时取等号.设,则,在(0,1)上，,单调递减;在(1,+)上，,单调递增.故,恒成立，且当且仅当时取等号.由,由已知，且，解得,经检验只有B正确，故选：B.5若，则下列不等式恒成立的是( )ABCD【解析】对于，当 时，而 ，所以A选项不正确；对于，当 时，所以B选项不正确；令 ，则，对 恒成立，在 上为增函数，所以的最小值为 ，所以，故C正确；令 ，则， 令，得.当 时，当时， .在 时取得最小值，所以D不正确故选：C6下列不等式正确的个数有（ ）个. ；A0B1C2D3【解析】对于，令，则在上递减，在上递增，即，正确；由知，恒成立，则有，即成立，正确；对于，令，即在上单调递减，而，则，所以有，正确.故选：D7已知两个不等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）ABCD【解析】因为，所以，即，令函数，则，时，单调递减，时，单调递增.函数在处取得极小值，如图所示：依题意，不妨设，由图象可知，故，A错误；假设成立，可取，则，易见不满足题意，即B不正确；如图取时，设，则由知，可有，故D错误；由函数（）中，时，时，可知，时极值点左偏，即，即一定成立，C正确.故选：C.8设，则（ ）ABCD【解析】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0x0时,所以,即函数在0,+)上单调递减，所以,即,即b0，比较x与ln(1x)的大小，结果为_【解析】令f(x)xln(x1)x0，f(x)，又因为函数f(x)在x0处连续，f(x)在0，)上是增函数从而当x0时，f(x)xln(1x)f(0)0.xln(1x)15不等式对恒成立，则的取值范围是_.【解析】变形为，设,的单调增区间为，减区间为，最小值为16若0x1x21，且1x3x4，下列命题：；其中正确的有_【解析】令，则，易知当时，单调递增，由，则存在使得，当时，单调递减；当时，单调递增；，当时，即，此时，故错误；，即，故正确；令，当时，单调递减；当时，单调递增；，与的大小无法确定即、的大小无法确定，故错误；，即，故正确.故答案为：.四、解答题17已知，是函数的两个零点.（1）求的取值范围；（2）证明：.【解析】（1），.当时，即在上单调递增；当时，即在上单调递减.所以，当时，当时，因为，是函数的两个零点.所以，即，故的取值范围为；（2）证明：由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减.不妨设，则，令，在上恒成立，则在上单调递增，在上恒成立，所以，又，所以.因为，在单调递减，所以，即.18已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当时，【解析】（1）定义域：，当时，；当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增；，无极大值（2）证明：由（1）知，令，则，即在上单调递减，当时，19已知函数，函数与函数的图象在交点处有公共切线.（1）求、的值；（2）证明：.【解析】（1），由题意得解得，；（2）证明：令，则，令，得，令，得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以，即.20已知函数，其中.（1）当时，函数的单调性；（2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时.【解析】（1）当时，因为，所以由得或；由得，所以，的增区间是和；减区间是.（2），设在区间上存在零点为，则， 在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，所以单调递减，又，故在上恒成立，故单调递减.所以，故当时，.21已知函数（1）讨论的单调性（2）当时，证明：【解析】（1） 的定义域为，.当时，所以在上单调递增.当时，若，则；若，则.所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，要证 ，即证，即证.令函数，则.令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，令函数，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以，即，从而 得证.22已知函数，为的导数（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：【解析】（1）依题意知：，有两个极值点，在有两个变号零点，令得：，关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为，即：解得：， ，故的取值范围为：.（2）依题意，要证：，当时，故原不等式成立，当时，要证：，即要证：，令则，先证：，即要证：，令，则，当时，在单调递增，即：，当时，在单调递减，在单调递减，即：，故原不等式成立.