专题15 利用二次求导法解决导数问题1已知，若， ，则，的大小关系为（ ）ABCD【解析】，令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又的定义域为，所以在和上单调递减，又，所以故选：B2若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】由，得，又关于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，则，设，则，即在上单调递增，则，于是有，从而得在上单调递增，因此，则，所以的取值范围是.故选：D3已知函数，若，使得在恒成立，则的最大值为（ ）A2B3C4D5【解析】依题意，令，则令，时，即单调递增，设并记其零点为，故且，所以当时，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，故选:C4若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【解析】由，得，设，即恒成立，所以在上单调递减，且，所以当时，；当时，；即函数在上单调递增，在单调递减，故当时，取最大值为，即，所以，故答案为：.5已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为_【解析】由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，即，当时，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，故，所以，所以实数的最大值为6已知，函数，（1）讨论函数的极值；（2）若，当时，求证：【解析】（1）因为，则，当时，对，则在是增函数，此时函数不存在极值；当时，令，解得，若，则，若，则，当时，取得极小值，所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值；（2）时，设，求导得，设，则，当且仅当时取“=”，于是得在单调递增，即，从而得在上单调递增，因此有，即，所以在上恒成立.7函数，为常数（1）当时，若，求的值；（2）当时，证明：对任意，【解析】（1）因为，所以，解得：（2）因为，所以，则要证，只需证设则，设，故单调递增又因为，所以存在，使得，即，所以，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增所以当时，取得最小值由知，所以，所以，故，从而8已知函数（1）当时，求图象在点处的切线方程；（2）当且时，证明有且仅有两个零点.【解析】（1）当时，则，则，又，则图象在点处的切线方程为；（2）由，则恒成立，单调递增；又；，则必然存在一点，使得，且，单减，单增，即，则，故若有且仅有两个零点，则，只需最小值点不在处取得即可，即，即，故当且时，有且仅有两个零点.9已知函数，.（1）若在上为单调递减函数，求的取值范围；（2）设函数有两个不等的零点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围【解析】（1），由，令，当时，；当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数.，.（2）函数有两个不等的零点且，两式相除得，若证不等式恒成立，即证，即证，令，.时，在上为单调递减函数，在为单调递增函数， 满足条件.时，当时，在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，不满足条件，舍去.综上，正实数10已知函数满足，且曲线在处的切线方程为（1）求，的值；（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值【解析】（1）由已知得，且函数的图象过点，则解得，（2）由（1）得若在上恒成立，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，从而可得在上恒成立令，则，令，则恒成立，在上为增函数又，所以存在，使得，得，且当时，单调递减；当时，单调递增则又，所以，代入上式，得又，所以因为，且，所以，故的最大值为311记，为的导函数若对，则称函数为上的“凸函数”已知函数，（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若函数在上有极值，求的取值范围【解析】（1），若函数为上的凸函数，则，即，令，则当时，当时，；当时，；当时，单调递减；当时，单调递增，解得：，的取值范围为.（2），在上有极值，在有变号零点，令，则，在上单调递增，；当，即时，在上单调递增，即，在无零点，不合题意；当，即时，则，使得，当时，单调递减，又，当时，在上无零点；当时，单调递增，又时，在上有零点，且在零点左右两侧符号相反，即该零点为的变号零点，在上有极值；综上所述：的取值范围为.12已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）已知，若在内有两个零点，求的取值范围.【解析】（1）的定义域为(0,+)，.当时，令，得到；令，得到，此时在(0,1)上为减函数，在(1,+)上为增函数；当时，令，得到；令，得到或，此时在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；当a=1时,显然恒成立，此时在0,+)上为增函数；当a1时,令，得到；令，得到或.此时在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+)上为增函数.综上：当时， 在(0,1)上为减函数，在(1,+)上为增函数；当时， 在(a,1)上为减函数，在(0,a)和上为增函数；当a=1时，在0,+)上为增函数；当a1时，在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+)上为增函数.（2）在内有两个零点，即关于x方程在上有两个不相等的实数根.令则，令，则，显然在上恒成立,故在上单调递增.因为p(1)=0，所以当，有，即所以单调递减；当，有，即所以单调递增；因为，所以a的取值范围13已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围【解析】（1）由题意得，的定义域为，当时，函数在上单调递增当时，令，解得，时，函数在上单调递减；时，函数在上单调递增综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）由题意得，求导得，设，求导可得，当时，函数在上单调递增，函数至多有一个极值点，不合题意当时，令，解得，时，函数在上单调递增，时，函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，也是最大值，为因为函数有两个极值点等价于函数有两个不同的零点，所以，即，解得当时，令，则，故在上单调递增，即，所以，又在上单调递增，在上单调递减，所以函数有两个极值点，所以实数的取值范围是14已知函数，（1）当时，若在点，切线垂直于轴，求证：；（2）若，求的取值范围【解析】（1）由题意可知，则，设切点为，则由，解得，则，即，故等式得证；（2）解：因为，其中，所以对恒成立，令，则，即，令，则，其中，则为上的增函数，又因为（1），所以存在，使得，即，即，又因为在上单调递增，故，即，又当时，所以为减函数，当时，所以为增函数，所以，所以的取值范围为，15已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若对任意的，都有，求的取值范围.【解析】（1）当时，所以切线的斜率，切点为，所以切线方程为：，即（2）若对任意的，都有，取，则可得：，由可得：，所以在单调递增，即，因为， ，所以存在，使得，所以当时，当时，所以在单调递减，在单调递增，若对任意的，都有，只需 解得：，所以的取值范围是.16已知函数（1）若对恒成立：求实数a的取值范围；（2）当时，证明：【解析】（1）因为，所以，.当时，显然，则在上单调递增，所以，不合题意；当时，由得，则在上单调递增，所以存在，使，不合题意；当时，因为，所以，则在上单调递减，所以.综上可知，实数的取值范围是.（2）当时，要证，只需证，即证（*）.令（），则，令（），则，则在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减.由（*）可知，只需证（）.令（），则，所以在上单调递增，所以对任意，即.故原不等式成立.17已知函数.（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，且，证明：.【解析】（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.（2）若有两个零点，则，得.因为，令，则，得，则，所以.令，则，令，则，则在上单调递增，所以.所以，则在上单调递增，所以，即，故.18已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：函数存在极小值；（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）当时，所以所以曲线在点处的切线方程为（2）由，得令，则当时，当时，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数所以的最小值为当时，又在单调递增，故存在，使得，在区间上，在区间上所以，在区间上，在区间上，所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数存在极小值（3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于当时，由（2）得，所以所以在上单调递增，所以的最小值为由，得，满足题意当时，由（2）知，在上单调递减，所以在上，不满足题意综上所述，实数a的取值范围是19已知函数.（1）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（2）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值.【解析】（1），又函数在区间上为增函数当时，恒成立.的取值范围为.（2）当时，.故不等式，即对任意恒成立，令，则，令，（）则，在上单增.又，存在，使，即当时即.当时，即在上单减，在上单增.令，即.，且，即.20已知函数.（1）若在上有两个不同的实根，求实数的取值范围；（2）若，证明：存在唯一的极大值点，且.【解析】（1）由，得，即.令，求导，令，得当时，单调递减；当时，单调递增，所以.易知当时，当时，故可作出函数的大致图象，如图所示：由图象可知，当时，直线与的图象有两个不同的交点，故当在上有两个不同的实根，实数的取值范围为.（2）证明：由题知，求导，令，求导，令，得所以在上单调递减，在上单调递增.又，由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一的根，设为，则，从而有两个零点和，当和时，单调递增；当时，单调递减，所以存在唯一的极大值点，且，即.，当且仅当，即，故等号不成立，所以.