专题02 利用导数求函数单调区间与单调性一、单选题1函数的单调递增区间是（ ）ABCD【解析】函数的定义域为，令，解得，因此，函数的单调递增区间是.故选：D.2已知函数，则其单调递增区间为（ ）ABCD【解析】函数的定义域为，所以，令，可得，即的单调递增区间为故选：3若，则（ ）ABCD【解析】令，则，因为函数和在上是增函数，所以在上也是增函数，又，所以存在，使得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当，与的大小无法确定，即与，所以与的大小无法比较，故A、B错误；令，则，当时，所以在上单调递增，即，故C正确，D错误故选：C4若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）ABCD【解析】将代入得到，所以切点为.因为，所以，所以，当时，为增函数.所以函数的增区间为.故选：C5已知，则（ ）ABCD【解析】令函数，则，则有在上单调递减，在上单调递增，且x趋近于0和趋近于正无穷大时，值都趋近于正无穷大，由得，即，且，显然，若，而在上单调递增，由必有与矛盾，因此得，同理，由得，且，并且有，由得，且，并且有，显然有，于是得，又在上单调递减，所以.故选：A6已知函数，若，则，的大小关系是（ ）ABCD【解析】因为，则，所以函数在上单调递增.又，所以，即.故选：B.7已知且，且，且，则（ ）ABCD【解析】记，有，所以当时，当时，在单调递减，在单调递增，因为且，且，且，即，即，则，故选：8已知函数是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是（ ）A恒成立B当且仅当时，C恒成立D当且仅当时，【解析】，由已知得，故，令，则，即在R上单调递增，而，故时，而，所以，时，而，所以，又是定义在R上的减函数，所以，故在R恒成立，故选：C二、多选题9函数在下面哪个区间内是增函数？（ ）ABCD【解析】由，则，令，即，得，若时，则，得若时，则，得 ，经比较可知，选项B，C符合要求，故选：BC10如果函数的导函数的图像如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ）A在区间内单调递减B在区间内单调递减C是极小值点D是极大值点【解析】根据导函数的图像可知的性质，A：由于则函数在区间内单调递增；故A不正确.B：函数在区间的导数为，则在区间上单调递减，故B正确.C：由图像可知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故C错误.D：时，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，则是极大值点，故D正确，故选：BD11下列不等式中正确的是（ ）ABCD【解析】对于A，故A错误；构造函数，可得，则当时，单调递增，当时，单调递减，对于B，由，可得，即，即，即，得，故B正确对于C，由，可得，故C错误；对于D，由，可得，即，则，故D正确故选：BD12已知函数，是其导函数，恒有，则（ ）ABCD【解析】因为，所以，又，所以构造函数，则，所以在上为增函数，因为，所以，所以，即，故A正确；因为，所以，所以，即，故B错误；因为，所以，所以，即，故C错误；因为，所以，所以，即，故D正确，故选：AD.三、填空题13函数，的单调减区间是_【解析】依题意，因，且在上递减，则当时，即，在上递减，所以所求单调减区间是.14若函数，则函数的单调递减区间为_【解析】函数的定义域是，当时，单调递减，所以函数的单调递减区间是.15已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为_【解析】构造，则，所以是R上的单调减函数，又因为，所以不等式可化为，由函数单调递减可得，故不等式的解集为16设函数，且满足，则实数的取值范围是_【解析】易知函数定义域为，是偶函数，当时，设，即在单调递增，所以恒成立就，即，设， ，在单调递增，即，所以，在上单调递增，于是关于轴对称，且在上单调递增，时，有，恒成立；时，有；综上：.四、解答题17已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当时，【解析】（1）定义域：，当时，；当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增；，无极大值（2）证明：由（1）知，则，即在上单调递减，当时，18设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）当，时，求函数单调减区间和最值.【解析】（1）因为，则，由题意得，即；（2）当时，则，列表如下：增极大值减极小值增所以，当时，函数的减区间为，函数的极大值为，极小值为.又因为，因此，函数，.19已知函数（1）当=1时，求曲线在点(0，1)处的切线方程；（2）当=1时，求函数的单调区间：（3）若函数有三个零点，求的取值范围.【解析】（1）当=1时，则，所以切线的斜率为，所以所求得切线方程为，即，（2）由，得，由，得或，则，得，所以在和上递增，在上递减，（3）由，得，当时，所以在上单调递增，所以最多有一个零点，当时，由，得或，则，得，所以在和上递增，在上递减，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为函数有三个零点，所以且，所以且，解得，所以的取值范围为20已知函数.（）（1）若，求函数的单调区间；（2）若，证明：当时，恒成立.【解析】（1），当时，令，解得.当变化时，的变化情况如下表：减极小值增所以时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：令，则.令，则，当时，单调递减，当时，单调递增；所以，即恒成立.所以在上单调递增，所以，所以，即当时，恒成立. 21已知.（1）求的单调增区间；（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围.【解析】（1），.令，得.当时，在上恒成立；当时，有.综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为.（2）由（1）知.在定义域上单调递增，恒成立，即在上恒成立.时，即的取值范围是.22设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，都有恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，由，得，当时，所以在上递增，当时，由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，综上，当时，在上递增，当时，在上递增，在上递减，（2）当时，都有恒成立，即当时，当时，显然成立，当时，问题转化为在上恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以，即a的取值范围