专题06 利用导数研究函数的最值一、单选题1函数在上的最小值为（ ）AB4CD【解析】，所以时，递减，时，递增，所以是在上的唯一极值点，极小值也是最小值故选：D2函数在区间上的最大值是（ ）ABCD【解析】因为，则，令得，所以，当，单调递增；当，单调递减，所以，当时，有最大值.故选：D.3一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.当方盒的容积最大时，（ ）A2B3C4D6【解析】由题意可得：无盖方盒的底面是边长为的正方形，高为，则无盖方盒的容积，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，故时，方盒的容积最大，故选：B.4设函数，若有成立，则实数取值范围为（ ）ABCD【解析】由，得，令，得或，当时，当时， ，所以在上递减，在上递增，因为，所以由有成立，可得，所以，故选：A5若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】由题知，由得，由得或.所以函数在上递减，在上递增，上递减，若函数在上有最大值，则，解得.故选：A6已知函数，对定义域内任意x都有，则实数k的取值范围是（ ）ABCD【解析】因为，对定义域内任意x都有，则对恒成立，令，则，令，解得：，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，故选项A正确，选项BCD错误.故选:A.7直线分别与曲线，相交于、两点，则的最小值为（ ）ABC2D【解析】令，其中，则.当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，故，易知点，故，因此，的最小值为.故选：C.8若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】由，得，又关于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，则，设，则，即在上单调递增，则，于是有，从而得在上单调递增，因此，则，所以的取值范围是.故选：D二、多选题9已知函数，则（ ）A在上单调递增B是的极大值点C有三个零点D在上最大值是【解析】因为，所以，令，解得或，与随的变化情况如下表：200极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；是的极大值点，故正确；因为，由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；当的定义域为时，在，上单调递减，在，上单调递增，又， ，所以在，上的最大值是4，故正确故选：10已知函数，下列说法中正确的有（ ）A函数的单调减区间为B函数的极大值为，极小值为C当时，函数的最大值为，最小值为D曲线在点处的切线方程为【解析】由可得，对于A：由即，解得：，所以函数的单调减区间为，故选项A正确；对于B：由即，解得：；由即，解得：或；所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，的极小值为，故选项B正确；对于C：由选项B知：在单调递增，所以在上单调递增，所以当时，函数的最大值为，最小值为，故选项C不正确；对于D：由导数的几何意义可得在点处切线的斜率曲线在点处的切线方程为即，故选项D正确；故选：ABD.11设的最大值为，则（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，【解析】对于选项A，当时，则，在区间上， 所以在区间上递减，所以，故选项A正确.对于选项B，当时，则，在区间上递增，即，故选项B正确.对于选项C，当时，当时，恒成立，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，当时，则，在区间上递增，故选项D错误.故选：AB.12已知不等式恒成立，则实数的取值可以是（ ）ABCD【解析】不等式，而或，则当时，令，时，显然在 单调递减， 而，使得，时，时，在上递增，在上递减，又，从而得，最小值1不能取到，即恒成立，所以，则当时，令，同理可得恒成立，所以，综上：不等式恒成立的实数满足，则选项A，B符合.故选：AB三、填空题13函数在区间上的最大值是_【解析】，令，则，所以时，函数单调递增；时，函数单调递减；所以函数在处取得极大值，也是最大值，因此14已知函数，若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是_.【解析】因为，则，令，可得；令，可得或.所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，所以，令，即，即，解得，如下图所示：由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.15已知函数，若存在成立，则实数a的取值范围是_【解析】由题意，函数，可得，设，可得，函数在上为单调递增函数，又由，所以函数在上只有一个零点，设为，即，即，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，其中最小值为，要使得存在成立，所以，即实数a的取值范围是.16已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_【解析】依题意，知，即对任意恒成立，从而，因此由原不等式，得恒成立令，则令，得当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，所以，故实数的取值范围是四、解答题17已知在时有极值0.（1）求常数，的值；（2）求在区间上的最值.【解析】（1），由题知：联立（1）（2）有(舍)或.当时在定义域上单调递增，故舍去；所以，经检验，符合题意（2）当，时，故方程有根或由，得或由得，函数的单调增区间为：，减区间为：.函数在取得极大值，在取极小值；经计算，所以最小值为0，最大值为4.18设函数（为常数），.曲线在点处的切线与轴平行（1）求的值；（2）求的单调区间和最小值；【解析】（1），因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，所以.（2），定义域为，令得，当变化时，和的变化如下表：10增0减由上表可知的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为.19已知函数（1）设是的导函数，讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在上的最小值.【解析】（1）由已知，设， 当时，在上恒成立，在上递增， 当时，令得，得，在上递减，在上递增，综上所述：当时，是上的增函数，当时，在是减函数，在上是增函数，（2）由（1）知，当时，在上递增，又，时，时，则在上递减，在上递增， 当时，由（1）知在上递增，又，则在上递减，在上递增， 当时，由（1）知，在上递减，在上递增，且，时，时，在上递减，在在递增，则，综上所述：函数在上的最小值为.20已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的解析式；（2）当时，若在区间上的最大值为，求a的值.【解析】（1）.由导数的几何意义得.切点在直线上，函数的解析式为.（2）当时，.若，在区间上为增函数，舍去；若，为减函数， 在区间上为增函数，舍去；若，当时，在区间上为增函数，当时，在区间上为减函数，.综上，. 21已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值(参考数据：)；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.【解析】（1）求导得：，令可得，令可得，于是函数在单调递增，在单调递减，于是当时，取最大值为，又，于是当时，取最小值为综上：当时，取最大值为，当时，取最小值为（2）原不等式即为：，可化简为记，则原不等式有解可转化为的最大值求导得：，于是函数在上单调递增，在上单调递减于是：，于是，解得：.22已知函数.（1）当时，求过坐标原点且与函数的图像相切的直线方程；（2）当时，求函数在上的最大值.【解析】（1）设切点坐标为，当时，则，所以切线方程为，又过原点(0，0)，所以，解得或，当时，切线方程为当时，切线方程为.（2）因，所以，令，得，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以.因，所以，所以.当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以.，所以.综上可得：.