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专题14 构造函数法解决导数问题一、单选题1函数的定义域为,对任意,则的解集为( )ABCD【解析】令, 因为对任意, 所以,即在上单调递减, 又因为,所以, 由,可得,即, 所以,即不等式的解集为 故选:A2定义在上的函数的导函数为.若对任意实数,有,且为奇函数,则不等式的解集是( )ABCD【解析】设,则,因为,所以,为定义在上的减函数,因为为奇函数,所以,即,故选:C.3设是奇函数,是的导函数,当时,则使得成立的x的取值范围是( )ABCD【解析】令,所以,当当时,所以,所以可知的在的单调递增,又是奇函数且,所以,则,由, 所以函数为的偶函数且在单调递减,当时,的解集为,当时,的解集为,综上所述:的解集为:,故选:D4已知定义域为的函数满足,其中为导函数,则满足不等式的解集为( )ABCD【解析】设,则,故在上单调增,又,所以的解为 ,则不等式的解集,故答案为:A5已知定义在上的函数的导函数为,且满足,则不等式的解集为( )ABCD【解析】令,则,因为,所以,所以在上为增函数,因为,所以,由(),得,所以,所以且,所以,所以不等式的解集为,故选:B6已知函数的定义域为,且,则不等式解集为( )ABCD【解析】由得,即,令,则,因为,即,且,所以,故函数在上单调递减,由,故,即的解集是.故选:C.7设是定义在上的函数,其导函数为,若,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )ABCD【解析】设函数,因为,所以,函数单调递增,所以,即,不等式的解集是.故选:D8设实数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )ABCD【解析】因为,不等式成立,即成立,即,进而转化为恒成立,构造函数,可得,当,单调递增,则不等式恒成立等价于恒成立,即恒成立,进而转化为恒成立,设,可得,当时,单调递增;当时,单调递减,所以当,函数取得最大值,最大值为,所以,即实数m的取值范围是.故选:B. 二、多选题9已知函数是定义在上的可导函数,其导函数为,若,且,则使不等式成立的的值不可能为( )ABCD【解析】设,则.,即函数在定义域上单调递减.,不等式等价于,即,解得.故不等式的解集为.故选:.10已知定义在上的奇函数连续且可导,若(为的导函数),则( )ABCD【解析】是定义在上的奇函数,.在中,令,得,即,A正确;是定义在上的奇函数, ,即,B错误;在中,令,得,又,C正确;构造函数,则,当时,在上单调递增,D正确.故选:ACD11已知函数的导函数为,若对恒成立,则下列不等式中,一定成立的是( )ABCD【解析】设,则,.因为对恒成立,所以,所以在上单调递减,在上单调递增,则,即,即.故选:BD.12已知定义在上的函数的导函数为,且,则下列判断中正确的是( )ABCD【解析】令,因为,则,故在,上单调递减,因为,则,结合选项可知,从而有,即,故错误,因为,结合在在,上单调递减可知,从而有,由可得,故错误;,从而有,且,即故正确;,从而有即故正确故选: 三、填空题13已知函数的定义域为,且.若对任意,则的解集为_【解析】令,则,因为对任意,所以,所以在上为增函数,又,所以,所以时,即, ,可得,所以的解集为14已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3,且f(x)的导数在R上恒有2(xR),则不等式f(x)1.故答案为:.15已知函数的导函数为,且满足,当时,若,则实数m的取值范围是_【解析】令,则,当时,在上递减,而,所以,所以是奇函数且在上单调递减,若,则,所以,即16已知函数的定义域为,且,对于,有成立,则不等式:的解集为_.【解析】令,则,在R单调递增,即,即,又在R单调递增,不等式的解集为.四、解答题17已知函数(1)若函数在点处的切线方程为,讨论函数的单调性;(2)若,对任意,当,不等式恒成立,求实数的取值范围【解析】(1)由题意可知函数的定义域为,因为,所以,解得a=1,则,所以,令,解得,所以当时,当时,当时,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,(2)当a=1,不等式,即变形为,令,则,(x0),不等式可化为,因为对任意1,10,当时,不等式恒成立,则可知在1,10上单调递减,因为,所以在1,10上恒成立,则在1,10上恒成立,即令,则,所以在1,10上单调递减,所以,所以,所以实数m的取值范围为.18已知函数,其中是的导函数.(1)求函数(为常数)的单调区间;(2)若时,恒成立,求实数的取值范围.【解析】(1),.(),.当时,在上单调递减;当时,由,得,时,.时,.在上单调递减,在上单调递增.综上所述,当时,的单调递减区间是;当时,的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)当时,不等式恒成立,即恒成立,设,则,当时,仅当,时,等号成立;在上递增;恒成立;当时,由,得,当时,在上递减,有,即使,综上所述,的取值范围是.19设函数,.(1)判断的单调性,并求极值;(2)若不等式对任意实数恒成立,求的取值范围.【解析】(1),令,则,当时,单调递减,当时,单调递增,所以的极小值为,无极大值.(2)因为不等式对任意实数恒成立,所以,对任意实数恒成立,即对任意实数恒成立,令,则,因为,所以,即在上单调递减,所以,即,则.20已知函数,.(1)证明:;(2)若时,恒成立,求实数a的取值范围;(3)求的最小值.【解析】(1),证明即证明即证明.设, 时,单调递增;时,单调递减., 即成立. (2)时,即,由(1)知,当时,成立, 当时,显然时不成立,综上,. (3).设,在上单调递增, ,存在使,且时即,递减;时即,递增, , 在是单调递增, .21已知函数,.(1)若,求的极值;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.【解析】(1)时,函数的定义域是,令,解得,令,解得,令,解得,故在递减,在递增,故的极小值是,无极大值;(2)存在,使得成立,等价于,成立,设,则,令,解得(舍),;当,在递减,令,解得;当时,在递减,在递增,与矛盾,综上,实数的取值范围为.22已知函数(1)当时,求的单调区间;(2)设,若存在正数,使不等式成立,求的取值范围【解析】(1)当时,则令,得;令,得所以的单调递减区间为,单调递增区间为;(2),当时,令,得;令,得,所以在区间上为减函数,在区间上为增函数所以,所以因为关于的不等式有解,所以,即,所以令,则,令,得;令,得所以在区间上为增函数,在区间上为减函数所以要使,则且故a的取值范围是
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