专题09 利用导数研究不等式能成立问题一、单选题1已知存在使得不等式在上成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】当，等价于，所以设，则，时，递增，所以，即，所以，所以，所以.故选：A2已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（ ）ABCD【解析】由题意可得在上能成立，所以在上能成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，且，即，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选：B.3已知函数在R上单调递增，当m取得最大值时，若存在使得成立，则实数k的取值范围是（ ）ABCD【解析】因为函数在R上单调递增，所以，即的最大值为，在上，若存在使得成立，则当时，令，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，故，当时，则，易知当时，则在上单调递减，综上所述，故选：A4若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】由，得，又关于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，则，设，则，即在上单调递增，则，于是有，从而得在上单调递增，因此，则，所以的取值范围是.故选：D5已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】由题意，、关于轴对称，与在上有交点，则在有解，令，则，在上递增，而，在上，递减；在上，递增；，故只需即可，得.故选：B6函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】已知函数， 则有且只有一个整数解.令，则，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值.设，则恒过点.在同一坐标系中分别作出和的简图，因为，所以，所以，依题意得即，解得，又，所以.故选：C.7已知，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【解析】由，得，记，当时，单调递减；当时，单调递增（1），记，时，单调递减；时，单调递增（1），故实数的取值范围为，故选：A8已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】因函数，则，令，则，令，即函数在单调递增，而，即存在，使得，当时，当时，即有在上递增，在上递减，于是得时，取得最大值，即，由得，显然时，有，必有，反之，若，则有，假定不成立，当有时，由知，即与矛盾，当有时，即与矛盾，综合得假定不成立是错的，从而有成立，也必有成立，于是得，即，因存在，使成立，则有，所以实数的取值范围为.故选：A二、多选题9设函数，若存在唯一的整数，使得，则满足题意的的取值范围可以是（ ）ABCD【解析】由题意存在唯一的整数，使得即，令，则，易知在单调递增，在单调递减，作出与的图象，由题可知这个可能为0或2，当为0时，如图一所示，则只需且同时成立，解得；当为2时，如图二所示，且同时成立，解得，故选：BD.10已知函数，若，不等式成立，则的可能值为（ ）A4B3C2D1【解析】，若，则，则在单调递增， ；若，则在单减，在单增，.，则在单调递增，在单调递减，.，不等式成立，若，成立；若，即，令，h（x）在（1，+）单增.而，.故选：BCD.11已知函数，若对任意，总存在，使，则实数 的值可以是（ ）ABC1D2【解析】，对任意，则在上单调递增，所以在上的值域是，由题意可得是的值域 的子集，当时的值域是，符合题意；当时，函数值域为 ，符合题意；当时，函数，要符合题意，则或 ，解得或 ，综上可得实数的取值范围是或.故选：ACD12已知函数，则以下结论正确的是（ ）A函数的单调减区间是B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得成立D对任意两个正实数，且，若则【解析】A选项，因为，所以，由得，；由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增；故A正确；B选项，令，则显然恒成立；所以函数在上单调递减；又，所以函数有且仅有一个零点；故B正确；C选项，若，可得，令，则，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；所以恒成立，即函数在上单调递减，所以函数无最小值；因此，不存在正实数，使得成立；故C错；D选项，令，则，则；令，则，所以在上单调递减，则，即，令，由，得，则，当时，显然成立，所以对任意两个正实数，且，若则.故D正确.故选：ABD三、填空题13已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_.【解析】由题可知：，因为函数在上存在极值点，所以有解所以，则或当或时，函数与轴只有一个交点，即所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去所以或，即或14函数，若，使得，则实数m的取值范围是_.【解析】由，所以，令，得或，又，当时，当时，所以函数在单调递减，在单调递增，所以，又在单调递增，所以，根据题意：若，使得，即，所以，可得得取值范围为15已知函数，若存在成立，则实数a的取值范围是_【解析】由题意，函数，可得，设，可得，函数在上为单调递增函数，又由，所以函数在上只有一个零点，设为，即，即，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，其中最小值为，要使得存在成立，所以，即实数a的取值范围是.16若存在两个正实数x，y，使等式成立，则实数m的取值范围_【解析】因为，所以，因此，令且，而函数，令，则恒成立，所以单调递减，又因为，所以时，即，所以在上单调递增，所以时，即，所以在上单调递减，又因为，所以，故 ，即，故答案为：.四、解答题17已知函数在点处的切线为（1）求函数的解析式：（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围【解析】（1）由题意知：的定义域为，解得，故（2）令，故在时，单调递增，要存在实数m，使得在时成立，只要即可，解得：18已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.【解析】（1）由题意知，因此，从而由题意求导得，因此，解得；（2）由（1）知令，解得10极大值因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为；（3）由（2）知，在处取得极大值，此极大值也是最最值要使（）有解，只需即，从而解得所以的取值范围为.19已知函数.（1）若，求曲线在处切线的方程；（2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【解析】（1）由已知， 曲线在处切线方程为，即.（2）.当时，由于，故，所以，的单调递增区间为，无单调递减区间.当时，由，得.在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由已知，转化为，由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，所以，解得.20已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）若存在，满足，求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，.，又,所求切线方程为，即.又函数在点处的切线方程为，.所以实数的值为.（2）由题意得，所以问题转化为在上有解.令，则 .令，则当时，有.所以函数在区间上单调递减，所以.所以，所以在区间上单调递减.所以.所以实数的取值范围为.21已知函数.（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）当时，若关于的不等式恒成立，求正数的取值范围.【解析】（1）当时，有，令，有，令，可得，故函数的增区间为，减区间为，有，可得函数单调递增，又由，故函数在区间上的值域为，（2）当时，恒成立，令，有，当时，可得此时函数单调递增，又由，故有；当时，令，可得函数单调递增，又由，可得存在，使得，可得函数的减区间为，又由，有，不合题意，由上知正数的取值范围为.22已知函数.（1）若，当时，讨论的单调性；（2）若，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.【解析】（1）因为，所以函数的定义域为.由，得，则，当时，函数在上单调递减；当时，或，所以在，上单调递减，在上单调递增；当时，或，所以在，上单调递减，在上单调递增.（2）当时，则.当，即时，所以在上单调递增，所以.当，即时，设的两根分别为，则，所以在区间上，所以在上单调递增，所以.综上，当时，在区间上的最大值为，所以实数a的取值范围是.