专题12 利用导数研究双变量问题一、单选题1若函数存在两个极值点，（），则的取值范围是（ ）ABCD【解析】根据题意，是有两解，所以，所以，由可得，由可得，则，故选：D.2若，令，则的最小值属于（ ）ABCD【解析】设，则，令，易知单增，且，则存在，使，即，单减；，单增；又，则，易知在单减，即，故选：C3若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）A1BCD【解析】，函数在定义域上单调递增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故选：C4设函数，若对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ）ABCD【解析】因为在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，因为，所以，当时，所以在上单调递增，所以的最大值为，因为对任意，不等式恒成立，所以，因为，所以，解得.故选：D5已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（ ）ABCD【解析】的定义域，令，则必有两根，所以，当时，递减，所以的最小值为，故选：A.6已知函数，若，使得，且，则的最大值为（ ）A2B3C4D6【解析】 ，令，即，解得，当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增.在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为.令，即，即，解得（舍）或；令，即，即，解得（舍）或；的最大值为.故选:C.7已知函数，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是ABCD【解析】由题意可知， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，取得最小值，当时，函数单调递增，即 ，解得：，不成立；当时，即，解得：或，不成立；当时，函数单调递减， ，即 ，解得：，成立.综上可知：.故选：B8已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A7B8C9D11【解析】由题干条件可知：等价于，令，则 ， ，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.令，则，当时，此题无解，所以，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.若成立，只需，即，即，两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，令，本题即求的最大的正整数.恒成立，则在上单调递减，所以的最大正整数为9.故选：C.二、多选题9关于函数，下列判断正确的是（）A是的极小值点B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得恒成立D对任意两个正实数，且，若则【解析】A：函数的的定义域为，当时，单调递减，当时，单调递增，是的极小值点，即A正确；B：，函数在上单调递减，且，函数.有且只有1个零点，即B正确；C：若恒成立，即恒成立.令，则，令，则，当时，当时，在上，函数单调递增，上函数单调递减，在上函数单调递减，函数无最小值，当时，不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；D.由单调性可知，令，则，令，则，在上单调递减，则，时，令，由，得，则，故D正确.故选：ABD.10已知函数，若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）A在函数上存在点，使得函数过该点的切线与只有一个交点B过点可作两条切线与函数相切CD的值与2的关系不确定【解析】对于选项A：的定义域为，设点处 切线为，则切线为，设，所以，由可得：；由可得：， 所以在单调递减，在单调递增，令则 ，可得在单调递增，而，所以在上只有一个零点，故选项A 正确；对于选项B：设点则切线为，若切线过点，可得，即，令，则，由可得：；由可得：， 所以在单调递减，在单调递增，所以无解，所以不存在过点的切线，故选项B不正确；对于选项C和D：，所以可得在单调递增，由，设，记，（），则，所以在单调递增，因为，所以，即即，即，根据在单调递增，可得，所以，故选项C正确，选项D不正确，故选：AC.11已知函数有两个零点，则（ ）A的取值范围为BCD【解析】，因为，所以当时，单调递增，函数至多有一个零点；当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为：，当时，所以函数至多有一个零点；当时，而，当时，当时，所以函数在内各有一个零点，所以，因此选项A不正确；选项B：因为，所以，因此本选项正确；选项C：因为，当时，所以，因此，构造新函数，因为，所以单调递减，因此当时，又因为，所以，而，因此，所以本选项正确；选项D：，令，显然有，令，显然，因此有：，设，所以有，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，令，即，因为，所以单调递增，因为，所以，而，所以，因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，所以本选项说法正确，故选：BCD12已知函数的极值点分别为，则下列命题正确的是（ ）ABC若，则有三个零点D【解析】，的极值点分别为，是方程的两根，A正确；，B错误；不妨设，由题意可知，在单增，在单减，且，根据函数图像趋势，当时，当时，则有三个零点，C正确；，同理：，而，D正确.故选：ACD.三、填空题13已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_.【解析】，得，当时，由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，令，则，当时，取得最小值，当时，取得最大值0，的取值范围是，14已知函数，当，恒成立，则的最大值为_.【解析】令，则，当，恒成立，则有，由得，因为任意的，都有，所以，结合，得.当时，令，则，由得，；由得，；所以在上递减，在上递增，的最小值为，由，得，对恒成立.所以，取，有恒成立.综上可知，的最大值为1.15已知函数的两个极值点为，且，则的取值范围是_【解析】因为，且，是两个极值点，所以，是的两个根，所以，满足，又因为，所以且，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以解得，令，设，所以，所以在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围是，故答案为：.16已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_.【解析】函数的定义域为，依题意，方程有两个不等的正根、（其中），则，由韦达定理得，所以，令，则，当时，则函数在上单调递减，则，所以，函数在上单调递减，所以，.因此，的取值范围是.四、解答题17已知，函数.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值；（2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围【解析】（1）,依题意有,且,可得,解得,或.（2）.不妨设,等价于.设,则对任意的,且,都有,等价于在上是增函数.,可得,依题意有, 对任意,有恒成立. 由,可得. 18已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【解析】由题意得， 时，恒成立，所以，所以在单调递增. 时，在上，在上，所以在单调递减，在单调递增. 综上，时，在单调递增.时，在单调递减，在单调递增. （2）因为有两个相异零点，由（1）可知，不妨设，因为，所以，所以， 要证，即证，等价于证明，而，所以等价于证明，也就是. （*）令，则，于是欲证（*）成立，等价于证明成立，设函数，求导得，所以函数是上的增函数，所以，即成立，所以成立.19已知函数，若函数的图象与函数的图象的一个公共点的横坐标为且两函数图象在点处的切线斜率之和为.（1）求的值；（2）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以，即， 又，所以，由题意得，所以由得（2）由（1）得，对任意的，恒成立，所以，因为，令得，令得或.所以函数在上单调递减，在上单调递增.而，所以，而，当时，故，所以实数的取值范围是.20已知函数（1）若，求函数的极值（2）设为的导函数，若是函数的两个不相等的零点，求证：【解析】（1）由题，令，解得，令，解得，故函数在单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，综上可知，函数的极大值为，无极小值（2）依题意，所以是的两个不相等的正实数根，则，解得，令，则，所以在上单调递减，所以，即21已知函数（为常数）.（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，求的范围.【解析】（1），只要，即时恒成立，在定义域上单调递增.（2）由（1）知有两个极值点则，的二根为，则，设，又，.则，在递增，.即的范围是.22已知函数（）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.【解析】（1）函数的定义域为，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，则，设，则，易知，当时，单调递减，当时，单调递增，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；（2）依题意，则两式相除得，设，则，设（），则，设，则，所以在单调递增，则，则在单调递增，又，且，即的最大值为.