专题01 极值点偏移问题1极值点偏移的含义若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.极值点x0函数值的大小关系图示极值点不偏移x0f(x1)f(2x0x2)极值点偏移左移x0峰口向上：f(x1) f(2x0x2)右移x0峰口向上：f(x1) f(2x0x2)峰口向下：f(x1)2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(2) 若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1x2)满足f(x1)f(x2)，求证：x1x22x0(x0为函数f(x)的极值点)；(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1x2)，令x0，求证：f(x0)0；(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1x2)满足f(x1)f(x2)，令x0，求证：f(x0)0.3.极值点偏移问题的一般解法3.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求3.2差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解3.3比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解3.4对数均值不等式法两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立3.5指数不等式法在对数均值不等式中，设，则，根据对数均值不等式有如下关系：专项突破练1已知函数(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：【解析】（1），令，得x1，当时，单调递减；当时，单调递增，故函数的减区间为，增区间为；（2）由（1）知，不妨设，构造函数，故，故在上单调递减，又，即，又在上单调递增，即，得证2已知函数.(1)若是增函数，求实数a的取值范围；(2)若有两个极值点，证明：.【解析】(1)函数的定义域为，若是增函数，即对任意恒成立，故恒成立，设，则，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，由得，所以a的取值范围是.(2)不妨设，因为，是的两个极值点，所以，即，同理，故，是函数的两个零点，即，由（1）知，故应有，且，要证明，只需证，只需证，设，则，所以在上单调递减，因为，所以，即，又，及在上单调递增，所以成立，即成立.3已知函数.(1)求的极大值；(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.【解析】(1)因为的定义域为，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为.(2)证明：因为，则，即，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为、是两个不相等的正数，且满足，不妨设，构造函数，则，令，则.当时，则，此时函数单调递减，当时，则，此时函数单调递减，又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，当时，即，故函数在上为增函数，故，所以，且，函数在上为减函数，故，则.4已知函数(1)讨论f(x)的单调性；(2)若，且，证明: .【解析】（1）当时， ， 所以单调递增；， ， 所以单调递减；当时， 所以单调递减；， 所以单调递增；（2）证明： ， ， 即当时，由（1）可知，此时是的极大值点，因此不妨令要证，即证：当时，成立；当时先证此时要证，即证：，即，即即： 令 ， 在区间上单调递增，式得证. ， 5已知函数（且）(1)，求函数在处的切线方程(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有两个零点，且，证明：【解析】(1)当时，所以.，所以.所以函数在处的切线方程为，即.(2)的定义域为(0，+)， .当a0时， .在上，所以单调递减；在上，所以单调递增.(3)当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.由题意可得：.由及得：.欲证x1+x22e，只要x12e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)0即可.由得 .所以令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，g(t)g(e)=0即f(2e- x2)0.综上x1+x22e.6已知函数(1)求证：当时，；(2)当方程有两个不等实数根时，求证：【解析】(1)令，因为，所以在上单调递增，所以，即当时，.(2)证明：由，得，易知在单调递减，在单调递增，所以.因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.由（1）知，当时，；当时，.方程可化为.所以，整理得.同理由，整理得.由，得.又因为所以.法二：由，得，易知在单调递减，在单调递增，所以.因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.要证，只要证，只要证：.因为在上单调递增，只要证：.令，只要证，恒成立.因为，令，则，故在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，故原结论得证.7已知函数(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：【解析】(1)当时，定义域为令，则当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，得；(2)因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；由当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减不妨设令则当时，则在上单调递增所以故，因为所以，又，则，又在上单调递减，所以，则8已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：【解析】(1)因为，则，所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即.(2)证明：因为，所以因为为增函数，所以在上单调递减，在上单调递增由方程有两个不等实根、，则可设，欲证，即证，即证，而，即，即，设，其中，则，设，则，所以，函数在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，即，故得证9已知函数(1)若，证明：时，；(2)若函数恰有三个零点，证明：【解析】(1)时，函数，则，在上单调递增，所以(2)，显然为函数的一个零点，设为；设函数，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增由已知，必有两个零点，且，下证：设函数，则，由于，则，由（1）有，故，即函数在上单调递减，所以，即有，由于，且在上单调递增，所以，所以10已知函数(1)若函数为增函数，求实数的取值范围；(2)若函数有两个极值点、求证：【解析】(1)因为，该函数的定义域为，若函数为增函数，则恒成立令，令得，当时，单调递减；当时，单调递增，故，所以，因此(2)因为函数有两个极值点、，即方程有两个不等的实根、，因为在上递减，在上递增，所以，即、是的两个根，所以，则，所以，即证，即证由两式作差得，令，则，即只需证，即证令，其中，则，故在区间上单调递减，当时，命题得证11已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数的图象与的图象交于，两点，证明：.【解析】(1)的定义域为令，解得令，解得所以的单调增区间为，减区间为(2)由（1）不妨设由题知，两式相减整理可得：所以要证明成立，只需证明因为，所以只需证明令，则只需证明，即证令记则易知，当时，当时，所以当时，所以当时，函数单调递增故，即所以，原不等式成立.12已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点 ，且，证明：.【解析】(1)函数的定义域为，.当时，令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增.当时，令，得，则在上单调递减；令，得，则在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)证明：因为为的两个零点，所以，两式相减，可得，即，因此，.令，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以，即.因为，所以，故得证.13已知函数(1)若时，求的取值范围；(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：【解析】（1）， ，设 ，当时，令得，当时，单调递减；当时，单调递增，与已知矛盾当时，在上单调递增，满足条件；综上，取值范围是（2）证明：当时，当，当，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，在区间上单调递增，只需证，只需证设，则，在区间上单调递增，即成立，14设函数，已知直线是曲线的一条切线.(1)求的值，并讨论函数的单调性；(2)若，其中，证明：.【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增【解析】(1)设直线与曲线相切于点，；又，即；设，则，在上单调递增，又，有唯一零点，解得：；，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增.(2)由（1）知：；当时，；当时，；要证，只需证；在上单调递减，只需证，又，则只需证对任意恒成立；设，；设，则，在上单调递减，又当时，在上单调递增，即在时恒成立，又，原不等式得证.15已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：.【解析】(1)定义域为，所以在上单调递减.，所以在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，又，所以先保证必要条件成立，即满足题意.当时，易知，；由以上可知，当时，有两个不同的零点.(2)由题意，假设，要证明，只需证明.只需证，又.即只需证，构造函数.，所以在单调递减.，即成立，即所以原命题成立.