专题04 导数之凹凸反转不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.【知识拓展】一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值，总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调递减，在上为凸函数；总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数. 1已知函数.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.【解析】（1）由，得恒成立，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，即，故的取值范围是； （2）有（1）知时，有，所以. 要证，可证，只需证，易证，所以；要证，可证， 易证，由于，所以，所以，综上所述，当时，证明：.2设函数（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：在上恒成立【解析】（1）当时，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减；在处取得极大值（2），无极小值；（2）当时，下面证，即证，设，则，在上，是减函数；在上，是增函数所以，设，则，在上，是增函数；在上，是减函数，所以，所以，即，所以，即，即在上恒成立3设函数，（1）判断函数零点的个数，并说明理由；（2）记，讨论的单调性；（3）若在恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）由题意得：，故在递增；又（1），（e），故函数在内存在零点，的零点个数是1；（2），当时，在递减，当时，由，解得：（舍取负值），时，递减，时，递增，综上，时，在递减，时，在递减，在，递增；（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，设，若记，则，时，在递增，（1），即，若，由于，故，故，即当在恒成立时，必有，当时，设，若，即时，由（2）得，递减，递增，故（1），而，即存在，使得，故时，不恒成立；若，即时，设，由于，且，即，故，因此，故在递增，故（1），即时，在恒成立，综上，时，在恒成立4已知函数，（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：当时，【解析】（1）令，则，当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以当时，取得最大值（1），因为恒成立，即恒成立，则，解得，故实数的取值范围为，；（2）证明：由（1）可知，恒成立，即，所以要证，只需证明成立即可，令，则，令，则，当时，则单调递减，当时，则单调递增，又，（1），因为，则，所以存在，使得，故当时，则单调递增，当，时，则单调递减，当时，则单调递增，又（1），所以，因此，当时，5已知函数，曲线在处的切线方程为（1）求证：时，；（2）求证：【解析】（1）函数的定义域为，又，所以该切线方程为 设，则，令，则，当时，所以在上单调递增，又，所以，即在上单调递增，所以，故时，；（2）由（1）知：当时，. 令，则，所以，所以，化简可得，得证.6已知函数且（1）（1）求函数的单调区间；（2）证明：【解答】（1）依题意，又，解得，令，解得，令，解得，的单调递增区间为，单调递增区间为；（2）证明：要证成立，只需证成立，令，则，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，又由（1）可得在上，故不等式得证7已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数（）求的值；（）讨论关于的方程的根的个数【解答】（） 因为函数为常数）是实数集上的奇函数，所以，即，则，解得，显然时，是实数集上的奇函数；（）由（）得，方程可转化为，令，因为，令，得，当时，所以在上为增函数，当时，所以在上为减函数，当时，又所以在上为减函数，在上为增函数，当时，所以当，即时，方程无解，当，即时，方程有一个根，当，即时，方程有两个根，综上得：当时，方程无解，当时，方程有一个根，当时，方程有两个根8设函数，（1）判断函数零点的个数，并说明理由；（2）记，讨论的单调性；（3）若在恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）由题意得：，故在递增；又（1），（e），故函数在内存在零点，的零点个数是1；（2），当时，在递减，当时，由，解得：（舍取负值），时，递减，时，递增，综上，时，在递减，时，在递减，在，递增；（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，设，若记，则，时，在递增，（1），即，若，由于，故，故，即当在恒成立时，必有，当时，设，若，即时，由（2）得，递减，递增，故（1），而，即存在，使得，故时，不恒成立；若，即时，设，由于，且，即，故，因此，故在递增，故（1），即时，在恒成立，综上，时，在恒成立9已知函数（1）当时，求的单调区间与极值；（2）当时，证明：【解析】（1）时，注意到与都是增函数，于是在上递增，又，故时，；故时，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值1，无极大值（6分）（2）方法一：当，时，故只需证明当时，当时，在上单增，又，故在上有唯一零点当时，；当，时，从而时，取得最小值由得：，故，综上，当时， 方法二：先证不等式与，设，则，可得在上单减，在上单增，即；设，则，可得在上单增，在上单减，（1），即于是，当时，注意到以上三个不等号的取等条件分别为：、，它们无法同时取等，所以，当时，即 10设函数（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，证明：在上恒成立【解析】（1）由题意得，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；所以是的极大值点，无极小值点（2）证明：令，则，令，则因为，所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，又因为，（1），所以存在唯一的使得（c），且当时，；当时，即当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，从而（c），由（c）得即，两边取对数得：，所以（c），（c），从而证得11已知函数，.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：.【解析】（1）等价于，即，记，则，当时，在上单调递增，由，所以，即不恒成立；当时，时，单调递增，不恒成立；当时，在上单调递减，所以，即恒成立；故在上恒成立，实数的取值范围是；（2）当时，在上成立，即，令，则，所以，所以12已知函数在处的切线方程为.（1）求；（2）若方程有两个实数根，且，证明：.【解析】（1）；（2）由（1）可知， ，设在处的切线方程为，易得，令， ， 则，当时，当时，设，则，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，即，所以，设的根为，则， 又函数单调递减，故，故， 再者，设在处的切线方程为，易得，令，当时，当时，令，则，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，所以，设的根为，则， 又函数单调递增，故，故，又，所.