专题06 导数中的三角函数问题1已知函数，(1)已知，求的值；(2)是否存在，使得对任意，恒有成立？说明理由.【解析】(1)因为，所以，而，由解得(2)对任意，恒成立，即，化简可得，所以时，可使得对任意，恒有成立2设函数.（1）若在处的切线为，求的值；（2）当时，恒成立，求的范围.【解析】（1）由得：，且. 由题意得：，即，又在切线上.，得.（2）当时，得，当时， ，当时，此时.，即在上单调递増，则，要使恒成立，即，.3设函数（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，【解析】（1）设，因为当时，为增函数，当时，所以在上恒大于零，所以在上不存在零点，当时，在上为增函数，根据增函数的和为增函数，所以在上为单调函数，所以在上若有零点，则仅有1个，所以，即，解得，所以实数的取值范围（2）证明：设，则，则，所以 ，因为，所以，所以在上递增，在上恒成立，所以在上递增，而，因为，所以，所以恒成立，所以当时，4已知函数.（1）证明：当时，函数有唯一的极大值；（2）当恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）证明：，因为，所以，当时，令，在区间上单调递减；，存在，使得，所以函数递增区间是，递减区间是.所以函数存在唯一的极大值.（2）由，即令，在区间上单调减函数，只要即可，即.5已知函数（1）当a=2时，证明：在上单调递减（2）若对任意x0，恒成立，求实数a的取值范围【解析】（1）证明：当a=2时，函数，若，则，因为，所以，故在上单调递减（2）解：当时，对aR恒成立；当x0时，由，整理得设，则令，得，则在上单调递增令，得，则在(0，1)上单调递减所以，综上，实数a的取值范围是6已知函数(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若在上有两个极值点，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，在处的切线方程为，即；（2）在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根，令， 令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增；又，当时，方程在上有两个不同的实数根，实数的取值范围为.7已知函数(1)若，判断f（x）在（，0）的单调性；(2)在0，上有且只有2个零点，求a的取值范围.【解析】（1）当时，.当时，所以，又，故，从而，所以，f（x）在（，0）上单调递增；（2）由函数，可知，则f（x）在上有且只有1个零点.，令，则在0.上恒成立.即在0，上单调递，当时，f（x）在0.上单调递增.则f（x）在（0，上无零点，不合题意，舍去，当时，在0，上单调递减，则在（0，上无零点，不合题意，舍去，当时，则在（0，）上只有1个零点，设为.且当时，；当时，所以当时，在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增，又，因此只需即可，即综上所述：8已知函数，(1)若在处的切线为，求实数a的值；(2)当，时，求证：【解析】(1)，(2)要证，即证，只需证，因为，也就是要证，令，在为减函数，得证9已知函数.(1)求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方；(2)若函数，证明：.（其中为自然对数的底数）【解析】(1)，则，.的图象在点处的切线方程为.设，则，令，得；令，得.在上单调递减，在上单调递增，当且时，的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方；(2)由题可知，. ，由（1）知，当且仅当时，等号成立，.，函数在区间上为增函数。则，原式得证.10已知（且），(1)求在上的最小值；(2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围【解析】(1)，显然为偶函数，当时，时，在单调递增；时，在单调递减；，在上的最小值为由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为(2)先证，设，则，令，令，在上单调递增，在上单调递减故恒成立由题意可得，使得成立，即成立由可知，参变分离得，设，即只需即可由知得，令，令，在上单调递减，在上单调递增，又已知故a的取值范围为11已知函数.(1)当时，求实数的取值范围；(2)证明：.【解析】(1)当时，等价于.令函数，则.若，则单调递减，不符合题意.若，则，.因为函数在上单调递增，所以.当时，单调递减，不符合题意.若，则单调递增，符合题意.综上所述，实数a的取值范围是(2)证明：由（1）知:当时,.要证，只需证，即证 .令函数，则当时，单调递减；当时，单调递增.故，即.当时，单调递增；当时，单调递减.故，因为，所以，即，从而12已知(1)当时，判断函数零点的个数；(2)求证：.【解析】(1)当时，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，所以函数零点的个数是1.(2)，令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，所以当时，成立.13已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，讨论的零点个数.【解析】(1)当时，函数，可得.当在区间上变化时，f（x）的变化如下表：x00+0-f（x）极小值1极大值-1所以的单调增区间为；的单调减区间为.(2)由题意，函数，可得当时，在上恒成立，所以时，所以在上单调递增.又因为，所以f（x）在上有0个零点.当时，令，可得.由可知存在唯一的使得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，因为，当，即时，在上有0个零点.当，即时，在上有1个零点.综上可得，当时，有2个零点；当时，有0个零点.14已知函数，函数(1)求函数的单调区间(2)时，不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)，令，则，当且仅当，时等号成立，在上单调递增，即在上单调递增，时，时，的单调递增区间为，单调递减区间为(2)时，恒成立，时，在上单调递增，若，时，在上单调递增，时，在上单调递增，时，恒成立；若，在有唯一解，设为，且，当时，在上单调递减，时，在上单调递减，与恒成立矛盾，舍去综上，实数的取值范围是15已知函数，为的导函数(1)若成立，求m的取值范围；(2)证明：函数在上存在唯一零点【解析】(1)当时，成立，当时，.设，则.，在上单调递减，.(2)，由（1）可知，函数在上单调递减，在上至多一个零点，且，在上有唯一的零点，在上存在唯一零点.16函数的图像与直线相切.(1)求实数a的值；(2)当时，求实数m的取值范围.【解析】（1），设切点为，所以有，因为是切线，所以有，设，显然当时，单调递增，所以有，当时，所以无实数根，因此当时，方程有唯一实数根，即，于是有，因此有；（2）令，则在恒成立.若，即时，当时，由得，所以在单调递增，又，所以在恒成立；当时，所以.所以在恒成立.若即时，则存在，使得在单调递减，则当时，矛盾，舍综上所述，的取值范围时.17已知函数，(1)若函数是R上的单调递增函数，求实数m的取值范围；(2)若，且对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)函数在R上单调递增，恒成立，即恒成立，则(2)令，则当即时，在上为单调递增函数，符合题意，当，即时，令，则，在上为单调递增函数，则，（）当，即时，在上为单调递增函数，符合题意，（）当，即时，存在，使得当时，此时在上为单调递减函数，从而，不能使恒成立综上所述，实数a的取值范围为18已知函数(1)若在上单调，求参数k的取值范围；(2)若，求参数k的取值范围【解析】(1)，取，在单调递增，在单调递减，依题意在无变号零点，或，k的取值范围为(2)取，若，即，则使得，在单调递减，与条件矛盾，由可知，在单调递增，在单调递减，使得，在递增，在递减，在单调递增，成立综上，k的取值范围为19已知函数(1)讨论f（x）在区间0，上极值的个数；(2)当时，求实数a的取值范围【解析】(1)，当时，则，所以f（x）在区间0，上单调递减，所以f（x）在区间0，上无极值；当时，存在且，使得，当时，当时，当时，所以f（x）在区间内单词递减，在区间（，）内单调递增，在区间内单调递减，故f（x）在区间上有1个极大值，1个极小值；当时，所以f（x）在区间上单调递增，故f（x）在区间上无极值综上，当或时，f（x）在区间上无极值；当时，f（x）在上有2个极值(2)当时，等价于在区间（0，）内恒成立令，则，设，则，因为，所以，则在区间（0，）内单词递增当时，即，所以g（x）在区间（0，）内单调递增，则，所以在区间（0，）内恒成立当时，由上可知在区间（0，）内单调递增，又，所以存在，使当时，所以g（x）在区间内单调递减，所以，此时不满足在区间（0，）内恒成立综上，实数a的取值范围为（，120设函数.(1)若，求曲线的斜率为的切线方程；(2)若在区间上有唯一零点，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，；令，则，在上单调递增，又，即有唯一解：，又，所求切线方程为：.(2)，；令，则，在上单调递增，使得，则当时，即；当时，即；在上单调递减，在上单调递增，又，若在上有唯一零点，则，解得：，即实数的取值范围为.21已知函数，为的导数(1)求；(2)证明：在区间上存在唯一零点【解析】(1)因为，所以.(2)函数的导函数为.而的导函数为.,随x的变化而变化的情况如下表：x0+-0单增单减-2由于,根据函数零点存在定理,，使.结合单调性可知在区间上没有零点,在区间上有唯一零点.因此, 在区间上存在唯一零点22已知函数.(1)若，判断函数的单调性；(2)证明：.【解析】（1）因为，所以,因为，所以在上，由，解得.当时，故在上为增函数；当时，在上为减函数.（2）证明：由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数.因为，所以，故，所以，所以.设，所以在上为减函数.又，则，所以，所以.23已知函数(1