20242025学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 已知集合 ， ， 则 _ () 2. 已知复数 z满足 （ 为虚数单位）， 则 _ () 3. 某大型企业共有职工1500人， 其中高级职称150人， 中级职称450人， 初级职称900人 现采用分层抽样抽取容量为30的样本， 则抽取的中级职称的人数为 _ () 4. 已知圆锥的底面周长为 ， 母线长为3， 则该圆锥的侧面积为 _ () 5. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中， 全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩： 68， 80， 74， 63， 66， 84， 78， 66， 70， 76， 则这组数据的60%分位数为 _ . () 6. 在某道选词填空题中， 共有4个空格、5个不同的备选单词， 其中每个空格只有一个正确答案（备选单词中有一个是多余的）， 若随机从备选单词中选4个不同的单词分别填入空格中， 则恰答对3个空格的概率是 _ () 7. 设 为定义在 R上的奇函数， 当 时， （ b为常数）， 则 _ . () 8. 若 的展开式中含 x的项的系数为60， 则 的最小值为 _ () 9. 在等比数列 中， ， 分别是函数 的两个驻点， 则 _ . () 10. 已知函数 ( )在区间 上是严格增函数， 且其图像关于点 对称， 则 的值为 _ () 11. 已知抛物线 C： 的焦点为 F， 过点 的直线 l在第一象限与 C交于 A， B两点， 且 为 的平分线， 则直线 l的方程为 _ () 12. 空间直角坐标系中， 从原点出发的两个向量 、 满足： ， ， 且存在实数 ， 使得 成立， 则由 构成的空间几何体的体积是 _ . 二、单选题() 13. 设 、 是任意两个向量， 则“ ”是“ ”的（ ）条件 A 充分非必要B 必要非充分C 充分必要D 既非充分又非必要 () 14. 在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中， 6名评委给 选手打出了6个各不相同的原始分， 经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后， 得到4个有效分 则经处理后的4个有效分与6个原始分相比， 一定会变小的数字特征是（ ） A 平均数B 中位数C 众数D 方差 () 15. 如图所示， 在正方体 中， 是棱 上一点， 若平面 与棱 交于点 ， 则下列说法中正确的是（ ） A 存在平面与直线垂直B 四边形可能是正方形C 不存在平面与直线平行D 任意平面与平面垂直 () 16. 在 中， ， 则下列说法一定正确的是（ ） A 若， 则是锐角三角形B 若， 则是钝角三角形C 若， 则是锐角三角形D 若， 则是钝角三角形 三、解答题() 17. 在 中， 角 所对应的边分别为 ， 且 ， ， 求： (1) a的值； (2) 和 的面积 () 18. 如图， 直三棱柱 中， ， ， 是 的中点， 是 的中点 (1)证明： 直线 与直线 的位置关系为异面且垂直； (2)求直线 与平面 所成角的大小 () 19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用， 其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间）， 当此距离等于报警距离时就开始报警提醒， 等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段， 分别为准备时间 、人的反应时间 、系统反应时间 、制动时间 ， 相应的距离分别为 、 、 、 .当车速为 v（米/秒）， 且 时， 通过大数据统计分析得到下表（其中系数 k随地面湿滑程度等路面情况而变化， ） 阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒距离米米(1)请写出报警距离 d（米）与车速 v（米/秒）之间的函数关系式 ， 并求 时， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施， 仍以此速度行驶， 则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶， 报警距离均小于80米， 则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时精确到1千米/小时？ () 20. 已知椭圆 C： 的焦距为 ， 且过点 (1)求椭圆 C的方程； (2)设与坐标轴不垂直的直线 l交椭圆 C于 M， N两点（异于椭圆顶点）， 点 P为线段 MN的中点， 为坐标原点 若点 P在直线 上， 求证： 线段 的垂直平分线恒过定点 ， 并求出点 的坐标； 求证： 当 的面积最大时， 直线 OM与 ON的斜率之积为定值 () 21. 已知 与 都是定义在 上的函数， 若对任意 ， ， 当 时， 都有 ， 则称 是 的一个“控制函数” (1)判断 是否为函数 的一个控制函数， 并说明理由； (2)设 的导数为 ， ， 求证： 关于 的方程 在区间 上有实数解； (3)设 ， 函数 是否存在控制函数？若存在， 请求出 的所有控制函数；若不存在， 请说明理由