20242025学年上海市南汇中学高一上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 集合 ， 集合 ， 则 _ () 2. “ 且 ”的否定形式是 _ . () 3. 已知集合 ， ， 则 _ () 4. 化简: _ . () 5. 已知 ， 若 是 的充分条件， 则实数 的取值范围是 _ . () 6. 已知不等式 的解集为 ， 则不等式 的解集为 _ . () 7. 若 ， 则 用 来表示是 _ . () 8. 已知集合 ， 若 ， 则实数 k的取值范围是 _ () 9. 关于 的不等式 的解集中恰有两个正整数， 则实数 的取值范围是 _ . () 10. 已知存在 使不等式 成立， 则实数 的取值范围是 _ . () 11. 已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值为 _ () 12. 对于任意实数 表示不超过 的最大整数， 如 ， 若 ， 则 A中所有元素之和为 _ . 二、单选题() 13. 若 为非零实数， 则下列不等式中成立的是（ ） A B C D () 14. “ ”是“ ”的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 () 15. 若 a， b， c均为正实数， 则三个数 ， ， （ ） A 都不大于2B 都不小于2C 至少有一个不大于2D 至少有一个不小于2 () 16. 已知有限集 ， 如果 中的元素 满足 ， 就称 为封闭集.给出下列结论: (1)集合 是封闭集 (2)若 ， 且 是封闭集， 则 (3)若 为正整数， 则 不可能是封闭集 (4)若 是正整数， 则封闭集 有且只有一个， 且 .其中正确的命题个数是（ ）. A 1B 2C 3D 4 三、解答题() 17. 已知集合 ， 集合 . (1)求 (2)若 ， 求实数 的取值范围. () 18. 法国数学家弗朗索瓦 韦达， 在欧洲被尊称为现代数学之父， 他最重要的贡献是对代数学的推进， 他最早系统地引入代数符号， 推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系， 人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于 的方程 的一个实数根为2， 求另一实数根及实数 的值 (2)已知 是方程 的两个根， 求 的值. () 19. 某公司为了变废为宝， 节约资源， 新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算， 该项目月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为： ， 且每处理一吨生活垃圾， 可得到能利用的生物柴油价值为200元， 若该项目不获利， 政府将给予补贴. (1)当 时， 判断该项目能否获利?如果获利， 求出最大利润；如果不获利， 则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时， 才能使每吨的平均处理成本最低? () 20. 问题: 正实数 满足 ， 求 的最小值.其中一种解法是: ， 当且仅当 且 时， 即 且 时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数 满足 ， 求 的最小值 (2)若实数 ， 正实数 满足 ， 求证: (3)求代数式 的最小值， 并求出使得 取最小值的 的值. () 21. 对于正整数集合 ， 如果任意去掉其中一个元素 之后， 剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等， 就称集合 为“可分集合”. （1）判断集合 和 是否是“可分集合”（不必写过程）； （2）求证： 五个元素的集合 一定不是“可分集合”； （3）若集合 是“可分集合”. 证明： 为奇数； 求集合 中元素个数的最小值.