20242025学年上海市宝山中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 函数 的定义域是 _ . () 2. 已知圆 的一般方程为 ， 则圆 的半径为 _ . () 3. 已知等差数列 中 ， ， 则前7项和 _ . () 4. 若复数 满足 （ 为虚数单位）， 则 _ . () 5. 已知向量 ， ， 则 在 方向上的 投影向量 为 _ . () 6. 若 展开式中 的系数为80， 则实数 a的值为 _ . () 7. 已知 ， 方程 一个虚根为 ， 则 _ . () 8. 已知点 为抛物线 的焦点， 定点 ， 点 为抛物线 上一动点， 则 的周长最小值为 _ . () 9. 在 ABC中， 边 a， b， c满足 ， ， 则边 c的最小值为 _ . () 10. 已知 是奇函数， 时 ， 则不等式 的解集为 _ . () 11. 复数 满足 ， 是复平面上以 为圆心、1为半径的圆的任意一条直径， 若 是 在复平面上对应的点， 则 的最小值为 _ . () 12. 设点 P在直线 上， 点 Q在曲线 上， 线段 的中点为 M， O为坐标原点， 则 的最小值为 _ . 二、单选题() 13. 已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线， 下列说法正确的是（ ） A 若， ， ， 则B 若， ， 则C 若， ， 则D 若， ， 则 () 14. 如图是总体密度曲线， 下列说法正确的是()A 组距越大， 频率分布折线图越接近于它B 样本容量越小， 频率分布折线图越接近于它C 阴影部分的面积代表总体在(a, b)内取值的百分比D 阴影部分的平均高度代表总体在(a, b)内取值的百分比 () 15. 已知数列 为无穷等比数列， 若 ， 则 的取值范围为（ ） A B C D () 16. 以直角坐标系的 轴为 轴， 轴绕原点 O逆时针旋转 作为 轴， 得到平面斜坐标系 ， 点 的斜坐标定义为： “若 （其中 、 分别为与斜坐标系的 轴， 轴同方向的单位向量）， 则点 的坐标为 ”.若直角坐标系中 ， ， 且动点 满足 ， 则点 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ） A B C D 三、解答题() 17. 已知圆锥的顶点为 P， 底面圆心为 O， 高为2， 底面半径为1. (1)求该圆锥的侧面积； (2) 为底面直径， A为底面圆周上一点， 且 ， 求二面角 的大小. () 18. 已知 中， ， ， 设 ， 记 ； (1)若 ， 求 的值； (2)求函数 的最大值， 及相应 的值. () 19. 某高中为配合爱国主义教育， 开展国防科技知识竞赛， 预赛后， 将成绩最好的甲、乙两个班学生（每班都是40人）成绩统计出来， 甲班的分数频率直方图和乙班成绩分布频数表如下（分数区间相同）， 成绩大于等于 分为优秀， 记甲、乙两班学生得分的平均数分别为 ， ， 方差分别为 ， . 分数区间人数3910135(1)随机从甲、乙两班各取1人， 求两人中至少一人成绩优秀的概率； (2)已知 ， ， ， ， 求这80名同学得分的平均分和方差. () 20. 已知双曲线 ， 直线 l交双曲线于 A、 B两点. (1)求双曲线 C的焦点到渐近线的距离； (2)若 l过原点， P为双曲线上异于 A、 B的一点， 且直线 、 的斜率 、 均存在， 求证： 为定值； (3)若 l过双曲线的右焦点 ， 是否存在 x轴上的点 ， 使得直线 l绕点 无论怎么转动， 都有 成立？若存在， 求出 M的坐标： 若不存在， 请说明理由. () 21. 已知 ， 函数 . (1)求函数 的极值； (2)讨论 的单调性（写出单调区间）； (3)若 恒成立， 求 的最大值 ， 并证明： 对于任意 ， 都有