20242025学年上海市杨思高级中学高二上学期12月阶段质量检测数学试卷一、填空题() 1. 已知 ， 则 _ . () 2. 若球的半径为2， 则此球的表面积是 _ . () 3. 已知 ， ， 若 ， 则 _ . () 4. 若直线 平面 ， 直线 在平面 上， 则直线 与 的位置关系是 _ . () 5. 从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中任取两个球， 观察取出的这两个球的标号和， 则此随机现象的样本空间是 _ () 6. 已知 ， ， 则向量 在向量 上的投影向量是 _ . () 7. 如图为一正方体的平面展开图， 在这个正方体中， 异面直线 与 的夹角是 _ . () 8. 某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者， 则所选3人中男女生都有的选法有 _ 种.（用数字作答） () 9. 如图已知点 在圆锥 的底面圆周上， 为圆锥顶点， 为圆锥的底面中心， 且圆锥 的底面积为 ， ， 若 与截面 所成角为 ， 则圆锥 的侧面积为 _ . () 10. 如图所示， 在平行六面体 中， ， ， ， 则 _ . () 11. 从 这7个数中任选 个组成一个没有重复数字的“五位凹数 ”（满足 ）， 则这样的“五位凹数”的个数为 _ .（用数字作答） () 12. 如图， 正方体 的棱长是 ， 是 上的动点， 、 是上、下两底面上的动点， 是 中点， ， 则 的最小值是 _ . 二、单选题() 13. 已知 、 表示两个不同的平面， 是一条直线且 ， 则 是 的（ ） A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 () 14. 已知 ， ， ， 若 ， ， 共面， 则 （ ） A 0B 1C 2D 1 () 15. 如图， 正方体 中， 分别为棱 的中点， 连接 ， 对空间任意两点 ， 若线段 与线段 都不相交， 则称 两点可视， 下列选项中与点 可视的为（ ） A 点B 点C 点D 点 () 16. 在长方体 中， ， ， 是棱 的中点， 点 是线段 上的动点， 给出以下两个命题： 无论 取何值， 都存在点 ， 使得 ；无论 取何值， 都不存在点 ， 使得直线 平面 则（ ） A 成立， 成立B 成立， 不成立C 不成立， 成立D 不成立， 不成立 三、解答题() 17. 3名男生和4名女生站成一排拍照， 在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. () 18. （1）解不等式： （2）证明： . () 19. 如图， 在四棱锥 中， 底面 为正方形， 平面 ， ， 为棱 的中点. (1)求证： 平面 ； (2)求直线 和平面 所成的角的正弦值. () 20. 如图， 在四棱锥 中， 平面 平面 ， 为棱 的中点 (1)证明： 平面 ； (2)若 ， （i）求平面 PDM与平面 BDM的余弦值； （ii）在线段 上是否存在点 Q， 使得点 Q到平面 的距离是 ？若存在， 求出 的值；若不存在， 说明理由 () 21. 如图， 在四棱锥 中， 面 ， ， 且 ， ， ， ， ， E、 F分别为 ， 的中点. (1)求直线 到平面 的距离； (2)在线段 上是否存在一点 M， 使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ？若存在， 求出 的值， 若不存在， 说明理由； (3)在平面 内是否存在点 H， 满足 ， 若不存在， 请简单说明理由；若存在， 请写出点 H的轨迹图形形状.