20242025学年浙江省”南太湖“联盟高二上学期第一次联考数学试卷一、单选题() 1. 直线 的一个方向向量是（ ） A B C D () 2. 已知点 ， ， ， 若 A， B， C三点共线， 则 a， b的值分别是（ ） A ， 3B ， 2C 1， 3D ， 2 () 3. 过点 作圆 的两条切线， 切点分别 , 为坐标原点， 则 的外接圆方程为 A B C D () 4. 中， ， ， ， 则顶点 的轨迹方程是 A B C D () 5. 已知抛物线 的焦点为 F ， 过点 F 作斜率为 1 的直线 交抛物线 C 于 P, Q 两点， 则 的值为（ ） A B C 1D 2 () 6. 已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ， ， 过 的直线与 C的左支交于 A， B两点， 且 ， ， 则 C的渐近线为（ ） A B C D () 7. 已知点 为双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左右焦点， 且 ， 为 的内心， 若 ， 则 的值为（ ） A B C D () 8. 如图所示， 四面体 的体积为 V， 点 M为棱 的靠近 B的三等分点， 点 F分别为线段 的中点， 点 N为线段 的中点， 过点 N的平面 与棱 ， ， 分别交于 O， P， Q， 设四面体 的体积为 ， 则 的最小值为（ ） A B C D 二、多选题() 9. 已知直线 ， 下列说法正确的是（ ） A 若， 则直线的倾斜角为B 若直线的在两坐标轴的截距相等， 则C 直线与直线垂直， 则D 若直线不过第二象限， 则 () 10. 已知椭圆 的左， 右两焦点分别是 ， ， 其中 .直线 与椭圆交于 A， B两点.则下列说法中正确的有（ ） A 当时， 的周长为4aB 当时， 若AB的中点为M， 则C 若， 则椭圆的离心率的取值范围是D 若AB的最小值为3c， 则椭圆的离心率 () 11. 正方体 的棱长为2， 点 M为侧面 内的一个动点（含边界）， 点 P、 Q分别是线段 、 的中点， 则下列结论正确的是（ ） A 存在点M， 使得二面角大小为B 最大值为6C 直线与面所成角为时， 则点M的轨迹长度为D 当时， 则三棱锥的体积为定值. 三、填空题() 12. 已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合， 则 _ . () 13. 设半径为3的圆 被直线 截得的弦 的中点为 ， 且弦长 ， 则圆 的标准方程 _ . () 14. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点 和 ， 设椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ， 为两曲线的一个公共点， 且 （ 为坐标原点） 若 ， 则 的取值范围是 _ 四、解答题() 15. 已知圆 . (1)若直线 l经过点 ， 且与圆 C相切， 求直线 l的方程； (2)若圆 与圆 C相切， 求实数 m的值. () 16. 如图， 四棱锥 中， 侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ， ， E是 PD的中点 (1)证明： 平面 ； (2)当点 为棱 中点时， 求直线 与平面 所成角的正弦值 () 17. 已知曲线 经过点 (1)若 经过点 ， 求 的离心率； (2)若 表示焦点在 轴上的椭圆， 求 的取值范围 () 18. 已知曲线 M是平面内到 和 的距离之和为4的点的轨迹 (1)求曲线 M的方程； (2)过点 作斜率不为0的直线 l交曲线 M于 两点， 交直线 于点 P， 过点 P作 y轴的垂线， 垂足为 Q， 直线 AQ交 x轴于 C点， 直线 BQ交 x轴于 D点， 求线段 CD中点的坐标 () 19. 已知两个非零向量 ， 在空间任取一点 ， 作 ， ， 则 叫做向量 与 的夹角， 记作 定义 与 的“向量积”为： 是一个向量， 它与向量 ， 都垂直， 它的模 如图， 在正四棱锥 中， ， 且 (1)求正四棱锥 的体积 ； (2)若 为侧棱 上的点， 且 平面 ， 求平面 与平面 夹角的余弦值； (3)若点 是侧棱 （包含端点）上的一个动点， 当直线 与平面 所成角最大时， 求 的值